La derivada del sinus de l'angle és igual al cosinus del mateix angle

Donada la funció de trigonometria més simple y = Sin (x), és diferenciable en cadascun dels seus punts de tot el domini de la definició. Cal demostrar que la derivada del sinus de qualsevol argument és igual al cosinus del mateix angle, és a dir, y '= Cos (x).

La prova es basa en la definició de la derivada de la funció

Definim x (arbitrària) en un petit barri de Δx d'un punt en particular x0. Mostrem el valor de la funció en ell i en el punt x per trobar l'increment d'una funció determinada. Si Δx és l'increment de l'argument, el nou argument és x ₀ + Δx = x, el valor d'aquesta funció per a un valor determinat de l'argument i (x) és Sin (x ₀ + Δx), el valor de la funció en un punt particular y (x ₀ ) .

Ara tenim Δy = Sin (x ₀ + Δx) -Sin (x ₀ ) és l'increment de la funció obtinguda.

Per la fórmula senoidal de la suma de dos angles desiguals, transformarem la diferència Δy.

(Cos) = cos (Δx) + Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) menys Sin (x ₀ ) = (Cos (Δx) -1) · Sin (x ₀ ) + Cos (x ₀ ) · Sin (Δx).

Es realitza una permutació dels termes, agrupada la primera amb el tercer Sin (x ₀ ), porta un multiplicador comú -sine- per als claudàtors. Es va obtenir en l'expressió la diferència Cos (Δx) -1. Queda per canviar el cartell davant del suport i entre parèntesis. Sabent quin és 1-Cos (Δx), fem una substitució i obtenim una expressió simplificada Δy, que després dividim per Δx.
Δy / Δx tindrà la forma: Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) / Δx-2 · Sin ² (0.5 · Δx) · Sense (x ₀ ) / Δx. Aquesta és la relació de l'increment de la funció amb l'increment permès de l'argument.

Queda per trobar el límit de la ràtio lim obtinguda per Δx tendint a zero.

Se sap que el límit Sin (Δx) / Δx és igual a 1, en aquesta condició. L'expressió 2 · Sin ² (0,5 · Δx) / Δx en el quocient resultant es redueix al producte que conté el primer límit notable com a multiplicador: divideix el numerador i el denominador de la fracció en 2, reemplaça el quadrat de la seno pel producte. Aquí així:
(Sin (0.5 · Δx) / (0.5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
El límit d'aquesta expressió per Δx tendint a zero és igual a zero (1 multiplicat per 0). Resulta que el límit de la relació Δy / Δx és Cos (x0) · 1-0, això és Cos (x0), una expressió que no depèn de Δx tendeix a 0. Això condueix a la conclusió que la derivada seno de qualsevol angle x és Cosine x, escrivim com y '= Cos (x).

La fórmula resultant s'introdueix a la taula de derivats coneguda, on totes les funcions elementals

En resoldre problemes en què es produeix la derivada d'un sinus, es poden utilitzar les regles de diferenciació i fórmules preparades a partir de la taula. Per exemple: trobar la derivada de la funció més senzilla y = 3 · Sin (x) -15. Utilitzem les regles elementals de diferenciació, l'eliminació del factor numèric darrere del signe de la derivada i el càlcul de la derivada d'un nombre constant (és zero). Apliquem el valor tabulado de la derivada del sinus de l'angle x, igual a Cos (x). Obtenim la resposta: y '= 3 · Cos (x) -O. Aquesta derivada, al seu torn, també és una funció elemental y = 3 · Cos (x).

La derivada del seno es quadra de qualsevol argument

Al calcular aquesta expressió (Sin ² (x)) ', cal recordar com es diferencia la funció complexa. Per tant, y = sin ² (x) - és una funció de potència, ja que el seno és quadrat. El seu argument és també una funció trigonomètrica, Argument complex. El resultat en aquest cas és igual al producte el primer factor és la derivada del quadrat de l'argument complex donat, i el segon és el derivat del sinus. Així és com la regla per diferenciar una funció d'una funció és semblant a: (u (v (x))) 'és (u (v (x)))' (v (x)) '. L'expressió v (x) és un argument complex (funció interna). Si es dóna la funció "Igrok igual al seno en el quadrat x", llavors la derivada d'aquesta funció complexa és y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). En el producte, el primer multiplicador doblegat és la derivada de la funció de potència coneguda, i Cos (x) és la derivada del sinus, l'argument d'una funció quadràtica complexa. El resultat final es pot transformar utilitzant la fórmula seno trigonomètrica del doble angle. Resposta: la derivada és Sin (2 · x). Aquesta fórmula es recorda fàcilment, sovint s'utilitza com a taula.