La integral indefinida. Càlcul d'integrals indefinides

Una de les seccions fonamentals de l'anàlisi matemàtica és el càlcul integral. Cobreix un camp molt ampli d'objectes, on la primera - és la integral indefinida. Posició en la qual s'erigeix com una clau que es troba encara a l'escola secundària revela un creixent nombre de clients potencials i oportunitats, que descriu les matemàtiques superiors.

aparença

A primera vista, sembla totalment integral moderna, tòpica, però en la pràctica resulta que va tornar a l'any 1800 abans de Crist. Inici considera oficialment a Egipte com no ens arribar a l'evidència més primerenca de la seva existència. És a causa de la falta d'informació, alhora que col·loca simplement com un fenomen. Es confirma un cop més el nivell de desenvolupament científic dels pobles d'aquests temps. Finalment, les obres es troben els antics matemàtics grecs, que data del segle quart abans de Crist. Ells descriuen el mètode utilitzat on la integral indefinida, l'essència dels quals era trobar el volum o àrea d'una forma curvilínia (pla tridimensional i bidimensional, respectivament). càlcul es va basar en el principi de divisió de la figura original en components infinitesimals, sempre que el volum (àrea) ja es coneix a ells. Amb el temps, el mètode ha crescut, Arquimedes va utilitzar per calcular l'àrea d'una paràbola. Càlculs similars al mateix temps per dur a terme exercicis a l'antiga Xina, on estaven completament independent del company de la ciència grega.

desenvolupament

El següent avanç en el segle XI abans de Crist s'ha convertit en l'obra de l'erudit àrab "carreta" Abu Ali al-Basri, que va empènyer els límits del que ja conegut, es van obtenir a partir de la fórmula integral per al càlcul de les sumes de les quantitats i graus des de la primera fins a la quarta, l'aplicació d'aquest conegut per nosaltres mètode d'inducció.
Ments d'avui són admirades pels antics egipcis van crear els monuments sorprenents i sense necessitat d'eines especials, a excepció de la de les seves pròpies mans, però és no és una potència científics bojos de la no menys temps que un miracle? En comparació amb els temps actuals de les seves vides semblen gairebé primitiu, però la decisió d'integrals indefinides dedueix de tot el món i s'utilitza en la pràctica per a un major desenvolupament.

El següent pas va tenir lloc al segle XVI, quan el matemàtic italià Cavalieri va portar mètode d'indivisibles, que va recollir per Ferma. Aquests dos personalitat va establir les bases per al càlcul integral moderna, que es coneix de moment. Van lligar els conceptes de diferenciació i integració, que es consideraven anteriorment com a unitats autònomes. En general, les matemàtiques que el temps va ser de partícules fragmentades existeixen troballes per si mateixos, amb un ús limitat. Manera d'unir i trobar un terreny comú era l'única veritable en el moment, gràcies a ell, el modern anàlisi matemàtica van tenir l'oportunitat de créixer i desenvolupar-se.

Amb el pas del temps canvia tot i el símbol integral també. En general, va ser designat científics que, a la seva manera, per exemple, Newton va utilitzar una icona quadrat, el que va posar una funció integrable, o simplement en el seu conjunt. Aquesta disparitat es va perllongar fins al segle XVII, quan un punt de referència per a tota la teoria matemàtica d'anàlisi científica Gotfrid Leybnits va introduir un personatge tan familiar per a nosaltres. Allargat "S" es basa realment en aquesta carta del alfabet romà, ja que denota la suma de primitives. El nom de la integral obtinguda gràcies a Jakob Bernoulli, després de 15 anys.

La definició formal

La integral indefinida depèn de la definició de la primitiva, pel que considerem que és al primer lloc.

Antiderivada - és la funció inversa de la derivada, en la pràctica es diu primitiva. Altrament: funció primitiva de d - és una funció D, que és el derivat v <=> V '= v. Cercar primitiva és calcular la integral indefinida, i el mateix procés es diu integració.

exemple:

La funció de s (i) = i ^3, i el seu S primitiu (i) = (i ^4/4).

El conjunt de totes les primitives de la funció de - aquesta és una integral indefinida, denotat com segueix: ∫v (x) dx.

En virtut del fet que V (x) - són només alguns funció primitiva original, l'expressió té: ∫v (x) dx = V (x) + C, on C - constant. En virtut de la constant arbitrària es refereix a qualsevol constant, ja que el seu derivat és zero.

propietats

Les propietats posseïdes per la integral indefinida, essencialment basats en la definició i les propietats dels derivats.
Tingueu en compte els punts clau:

• derivat integral de la primitiva és primitiu en si a més d'un arbitrària constant C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• derivada de la integral d'una funció és la funció original <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• constant es treu de sota del senyal integral <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, on k - és arbitrària;
• integral, que es pren de la suma de la idènticament igual a la suma de les integrals <=> ∫ (v (i) + w (i)) dy = ∫v (i) dy + ∫w (i) di.

Les dues últimes propietats es poden concloure que la integral indefinida és lineal. A causa d'això, tenim: dy = di + l∫w di (i) ∫ (di + ∫ lw (i) kv (i)) k∫v (i).

Per veure exemples de fixació de solucions integrals indefinides.

Ha de trobar la integral ∫ dx (3sinx + 4cosx):

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

A partir de l'exemple es pot concloure que no sap com resoldre integrals indefinides? Només ha de trobar totes les primitives! Però la recerca dels principis discutits a continuació.

Mètodes i Exemples

Per tal de resoldre la integral, es pot recórrer als mètodes següents:

• preparats per prendre avantatge de la taula;
• integrant per parts;
• integrat mitjançant la substitució de la variable;
• resumint sota el signe de la diferència.

taules

La forma més senzilla i agradable. De moment, l'anàlisi matemàtica pot presumir bastant extenses taules, la qual es detallaven la fórmula bàsica d'integrals indefinides. En altres paraules, hi ha plantilles derivades de vostè i només es pot treure profit. Aquesta és la llista de les principals posicions de la taula, que es poden visualitzar gairebé tots els casos, té una solució:

• ∫0dy = C, on C - constant;
• ∫dy = i + C, on C - constant;
• ∫y ⁿ dy = (i ^{n + 1)} / (n + 1) + C, on C - una constant, i n - nombre diferent de la unitat;
• ∫ (1 / i) di = ln | i | + C, on C - constant;
• ^{∫e i dy = e i + C} , on C - constant;
• ^{∫k i dy = (k i /} ln k) + C, on C - constant;
• ∫cosydy = siny + C, on C - constant;
• ∫sinydy = -cosy + C, on C - constant;
• ∫dy / cos ² i = TGY + C, on C - constant;
• ∫dy / sin ² i = -ctgy + C, on C - constant;
• ∫dy / (1 + i ²⁾ = arctgy + C, on C - constant;
• ∫chydy = tímid + C, on C - constant;
• ∫shydy = Chi + C, on C - constant.

Si cal, fer un parell de passos condueixen integrant a la vista en taules i gaudir de la victòria. EXEMPLE: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sense (5x - 2) + C.

D'acord amb la decisió, és clar que, per exemple, una taula integrant manca multiplicador 5. Afegim que en paral·lel amb aquesta multiplicació per 1/5 d'expressió general no va canviar.

Integració per parts

Penseu dues funcions - Z (I) i x (i). Han de ser contínuament diferenciable en el seu domini. En un propietats de diferenciació tenim: d (xz) = XDZ + ZDX. La integració de tots dos costats, obtenim: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + ZDX) => = zx + ∫zdx ∫xdz.

Reescrivint l'equació resultant, s'obté la fórmula, que descriu el mètode d'integració per parts: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Per què és necessari? El fet que alguns dels exemples que és possible simplificar, diguem, per reduir ∫xdz ∫zdx, si aquest últim és a prop de la forma de taula. A més, aquesta fórmula es pot utilitzar més d'una vegada, per obtenir resultats òptims.

Com resoldre integrals indefinides d'aquesta manera:

• necessari calcular ∫ (s + 1) i ^2s ds

∫ (x + ^{1) i 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, I = 1 ^{/ 2e 2s, di = i 2x} ds} = ((s + 1) i ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) ^{2s i)} / 2s ^2s / 4 + C;

• de calcular ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, I = S, di = ds} = GLC - ∫s x ds / S = GLC - ∫ds = SLNs -s + C = S (LNS-1) + C.

Substitució de la variable

Aquest principi de resoldre integrals indefinides no són menys de la demanda que els dos anteriors, encara que complicat. El mètode és el següent: Sigui V (x) - la integral d'alguna funció v (x). En el cas que en si mateix integral en l'Exemple slozhnosochinenny ve, és probable que es confongui i baixar les solucions camí equivocat. Per evitar aquest canvi en la pràctica de la variable x a z, en què l'expressió general simplificat visualment mentre es manté la z en funció de x.

En termes matemàtics, això és com segueix: ∫v (x) dx = ∫v (i (z)) i '(z) dz = V (z) = V (i -1 (x)), on x = i ( z) - substitució. I, per descomptat, la funció inversa z = i ^-1 (x) descriu plenament la relació i la relació de variables. Nota important - el diferencial dx necessàriament reemplaçat amb un nou diferencial dz, ja que el canvi de variable a la integral indefinida, es col·loquen novament a tot arreu, no només en l'integrant.

exemple:

• ha de trobar ∫ (s + 1) / (s + ² 2s - 5) ds

Aplicar la substitució z = (s + 1) / (s + ² 2s-5). Llavors dz = 2SDS = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Com a resultat, la següent expressió, que és molt fàcil de calcular:

∫ (s + 1) / (s + ² 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• cal trobar la integral ∫2 ^s e ^s dx

Per resoldre el reescriptura de la següent manera:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

Es designa per a = 2e (substitució de l'argument d'aquest pas no és, encara és S), donem la nostra aparentment complicat integral de forma tabular bàsica:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C.

Resumint un signe diferencial

En general, aquest mètode d'integrals indefinides - el germà bessó del principi del canvi de variable, però hi ha diferències en el procés de registre. Vegem amb més detall.

Si ∫v (x) dx = V (x) + C i i = z (x), llavors ∫v (i) dy = V (i) + C.

Alhora, cal no oblidar les transformacions integrals trivials, entre els quals:

• dx = d (x + a), i en el qual - cada constant;
• dx = (1 / a) d (x + b), on a - constant de nou, però no zero;
• xdx = 1 / 2D (x ² + b);
• sinxdx = -d (cos x);
• cosxdx = d (sin x).

Si considerem el cas general en què es calcula la integral indefinida, els exemples es poden subsumir sota la fórmula general w '(x) dx = dw (x).

exemples:

• ha de trobar ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² D (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = ln | coss | + C.

Ajuda en línia

En alguns casos, la decisió dels quals pot ser o mandra, o una necessitat urgent, pot utilitzar les indicacions en línia, o més aviat, utilitzar una calculadora d'integrals indefinides. Tot i l'aparent complexitat i el caràcter controvertit de les integrals, la decisió està subjecta a la seva algoritme específic, que es basa en el principi de "si no ho fa ... llavors ...".

Per descomptat, una particularment complexos exemples d'una calculadora d'aquest tipus no es dominen, ja que hi ha casos en què una decisió ha de trobar una manera artificial "forçada" mitjançant la introducció de certs elements en el procés, perquè els resultats són evidents maneres d'assolir. Tot i la naturalesa controvertida d'aquesta declaració, és cert, com les matemàtiques, en principi, una ciència abstracta, i el seu objectiu principal considera la necessitat de potenciar les fronteres. De fet, per a un bon funcionament en les teories és molt difícil per pujar i evolucionar, el que no assumeix que els exemples de resoldre integrals indefinides, que ens va donar - aquesta és l'altura d'oportunitats. Però de nou a la part tècnica de les coses. Almenys per comprovar els càlculs, pot utilitzar el servei en què va ser escrit per a nosaltres. Si hi ha una necessitat per al càlcul automàtic d'expressions complexes, llavors no han de recórrer a un programari més greu. Ha de prestar atenció principalment a l'entorn de MATLAB.

sol·licitud

La decisió d'integrals indefinides a primera vista sembla totalment allunyat de la realitat, ja que és difícil veure l'ús obvi de l'avió. De fet, directament a utilitzar en qualsevol lloc que no es pot, però són un element intermedi necessari en el procés de retirada de les solucions que s'utilitzen en la pràctica. Per tant, la integració de la diferenciació cap enrere, participant així activament en el procés de resolució d'equacions.
Al seu torn, aquestes equacions tenen un impacte directe en la decisió dels problemes mecànics, càlcul de la trajectòria i la conductivitat tèrmica - en fi, tot el que constitueix el present i la configuració del futur. exemples integral indefinida, de les quals hem considerat dalt, només trivial a primera vista, com a base per dur a terme més i més nous descobriments.