Conceptes bàsics de la teoria de la probabilitat. Les lleis de la teoria de la probabilitat

Moltes persones, quan s'enfronten amb la noció de "teoria de la probabilitat", espantat, pensant que és una cosa intolerable, molt difícil. Però en realitat no és tan tràgic. Avui ens fixem en els conceptes bàsics de la teoria de la probabilitat, aprendre a resoldre problemes d'exemples concrets.

ciència

El que està estudiant una branca de les matemàtiques com "teoria de la probabilitat"? Pren nota dels patrons d'esdeveniments aleatoris i variables. Per primera vegada el tema de Científics al segle XVIII, quan va estudiar els jocs d'atzar. Conceptes bàsics de la teoria de la probabilitat - esdeveniment. És qualsevol fet que s'indica per l'experiència o l'observació. Però el que és l'experiència? Un altre concepte bàsic de la teoria de la probabilitat. Això vol dir que aquesta part de les circumstàncies no es creen accidentalment, i amb un propòsit. Pel que fa a la vigilància, no és el mateix investigador no participa en l'experiència, sinó simplement un testimoni d'aquests esdeveniments, no té cap efecte sobre el que està succeint.

esdeveniments

Hem après que el concepte bàsic de la teoria de la probabilitat - l'esdeveniment, però no va tenir en compte la classificació. Tots ells estan dividits en les següents categories:

• Fiable.
• Impossible.
• Aleatòries.

No importa el que el cas és, que està sent observat o creada en el curs de l'experiment, es veuen afectats per aquesta classificació. Oferim tot tipus de reunir-se per separat.

determinat esdeveniment

Aquest és un fet al qual fer el conjunt necessari d'activitats. Per tal de comprendre millor l'essència, és millor donar alguns exemples. Això està subordinada a la llei i la física, química, economia i matemàtiques superiors. teoria de la probabilitat inclou un concepte tan important com a fet rellevant. Aquests són alguns exemples:

• Treballem i reben una remuneració en forma de salari.
• Així aprovat els exàmens, passat un concurs perquè pugui rebre una remuneració en forma d'admissió en una institució educativa.
• Hem invertit diners al banc, obtenir de nou si cal.

Aquest tipus d'esdeveniments són certes. Si hem complert totes les condicions necessàries, assegureu-vos d'obtenir el resultat esperat.

succés impossible

Ara tenim en compte els elements de la teoria de la probabilitat. Oferim a anar als aclariments en els següents tipus d'esdeveniments - això és, el impossibles. Per iniciar estipula la regla més important - la probabilitat d'un succés impossible és zero.

A partir d'aquesta formulació no poden ser objecte d'excepcions en la solució de problemes. Per il·lustrar exemples d'aquests esdeveniments:

• L'aigua es congela a una temperatura de més de deu (és impossible).
• La manca d'electricitat no afecta la producció (com impossible com en l'exemple anterior).

Més exemples es donen no és necessari, com es descriu anteriorment molt clarament reflectir l'essència d'aquesta categoria. succés impossible mai succeeix durant l'experiment sota cap circumstància.

Els successos aleatoris

Mitjançant l'estudi dels elements de la teoria de la probabilitat, especial atenció s'ha de prestar al tipus donat d'esdeveniment. Aquests són els que estudien aquesta ciència. Com a resultat de l'experiència d'alguna cosa que pot succeir o no. A més, la prova d'un nombre il·limitat de vegades que es pot dur a terme. Els exemples notables inclouen:

• Llançar la moneda - és una experiència, o la prova, la pèrdua d'un àguila - aquest esdeveniment.
• A l'estirar la bola de la bossa cegament - prova, va ser capturat la bola vermella - aquest esdeveniment i així successivament.

Tals exemples poden ser un nombre il·limitat, però, en general, són per ser entès. Per resumir i sistematitzar els coneixements adquirits sobre els esdeveniments d'una taula. estudis de teoria de la probabilitat només l'últim tipus de tot això presentat.

lleis

La teoria de probabilitats - la ciència que estudia la possibilitat de pèrdua de qualsevol esdeveniment. Igual que els altres, té algunes regles. Les següents lleis de la teoria de la probabilitat:

• La convergència de seqüències de variables aleatòries.
• La llei dels grans nombres.

En el càlcul de la possibilitat d'un complex pot ser utilitzat esdeveniments simples complexos per aconseguir resultats més fàcil i més ràpida manera. Cal tenir en compte que les lleis de la teoria de la probabilitat i fàcilment demostrables amb l'ajuda d'alguns dels teoremes. Suggerim que començar a familiaritzar-se amb la primera llei.

La convergència de seqüències de variables aleatòries

Recordeu que la convergència de diversos tipus:

• La seqüència de variables aleatòries la convergència en probabilitat.
• Gairebé impossible.
• convergència RMS.
• La convergència en la distribució.

Per tant, sobre la marxa, és molt difícil captar l'essència. Aquí hi ha les definicions que ajudaran a comprendre el tema. Per començar amb el primer aspecte. La seqüència es diu la convergència en probabilitat, si la següent condició: n tendeix a infinit, el nombre buscat per la seqüència és més gran que zero i prop de la unitat.

Anar a la següent vista, gairebé amb tota seguretat. Diuen que la seqüència convergeix gairebé segurament a una variable aleatòria amb n tendeix a infinit, i R, tendint a un valor proper a la unitat.

El següent tipus - una convergència de RMS. Quan s'utilitza la convergència SC-aprenentatge de processos aleatoris vector redueix a l'estudi dels processos aleatoris de coordenades.

Va ser l'últim tipus, vegem breument i per anar directament a la solució de problemes. La convergència en la distribució té un altre nom - "feble", a continuació, explicar per què. Convergència feble - és la convergència de les funcions de distribució en tots els punts de continuïtat de la funció de distribució límit.

Assegureu-vos de mantenir la promesa: convergència feble és diferent de tot l'anterior que la variable aleatòria no està definida en l'espai de probabilitat. Això és possible perquè la condició es va formar exclusivament utilitzant funcions de distribució.

La llei dels grans nombres

Gran ajudant en la prova de la llei serà teoremes de la teoria de la probabilitat, com ara:

• la desigualtat de Chebyshev.
• El teorema de Chebyshev.
• Teorema de Chebyshev generalitzat.
• teorema de Markov.

Si tenim en compte tots aquests teoremes, llavors el problema pot tenir diverses desenes de fulles. Tenim la tasca principal - és l'aplicació de la teoria de la probabilitat en la pràctica. Li oferim en aquest moment i ho fem. Però abans de considerar els axiomes de la teoria de la probabilitat, que són socis clau en la resolució de problemes.

axiomes

Des del principi, ja hem vist, en parlar sobre l'esdeveniment impossible. Recordem: la probabilitat d'un succés impossible és zero. Exemple ens va donar una molt vívida i memorable: la neu va caure a una temperatura de l'aire de trenta graus centígrads.

El segon és la següent: un cert esdeveniment es produeix amb la unitat de probabilitat. Ara anem a mostrar com està escrit amb l'ajuda del llenguatge matemàtic: P (B) = 1.

Tercer: Un esdeveniment aleatori pot succeir o no, però la possibilitat està sempre varien de zero a un. Com més s'acosta a la unitat, més possibilitats; si el valor és proper a zero, la probabilitat és molt baixa. Vam escriure això en llenguatge matemàtic: 0

Penseu en l'últim quart axioma, és a dir: la suma de la probabilitat que dos esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats. Escriu termes matemàtics: P (A + B) = P (A) + P (B).

Els axiomes de la teoria de la probabilitat - És una regla simple que no serà difícil de recordar. Anem a tractar de resoldre alguns problemes, en base als coneixements ja adquirits.

bitllet de loteria

En primer lloc, considerem l'exemple més simple - una loteria. Imagini que vostè va comprar un bitllet de loteria per a la bona sort. Quina és la probabilitat que vostè va a guanyar almenys vint rubles? La circulació total està involucrat en un miler d'entrades, una d'elles amb un premi de cinc-cents rubles, 10 rubles, vint i cinquanta rubles, i un centenar de - 5. La tasca de la teoria de la probabilitat basada en la forma de trobar una manera de sort. Ara junts analitzem la decisió sobre la vista de Tasques.

Si denotem per un premi de cinc-cents rubles, llavors la probabilitat de A és igual a 0,001. Com podem arribar? Només necessita el nombre d'entrades "afortunats" dividit pel nombre total (en aquest cas: 1/1000).

In - un guany de cent rubles, la probabilitat serà igual a 0,01. Ara hem actuat de la mateixa manera que l'última acció (10/1000)

C - premis és vint rubles. Trobar la probabilitat, és igual a 0,05.

La resta de les entrades que no ens interessa, ja que els seus diners del premi és menor que l'especificat en la condició. Aplicar quart axioma: La probabilitat de guanyar almenys vint rubles és P (A) + P (B) + P (C). La lletra P denota la probabilitat d'origen de l'esdeveniment, que en els passos anteriors ja els hem trobat. Només queda per establir les dades necessàries, la resposta que obtenim 0,061. Aquest número serà la resposta a la pregunta de llocs de treball.

baralla de cartes

Problemes en la teoria de probabilitats, hi ha també més complexa, per exemple, prendre el següent treball. Abans de la coberta de trenta-sis cartes. La seva tasca - per robar dues cartes en una fila, sense barrejar pila, la primera i segona targetes han de ser asos, vestits no importen.

Per començar, trobar la probabilitat que la primera carta és un as, aquesta divisió per Cuatro i trenta-sis. Deixi-ho a un costat. Obtenim una segona carta és un as amb la probabilitat de 335. La probabilitat que el segon esdeveniment depèn de quina targeta vam arribar la primera, ens interessa, que era un as o no. D'això es dedueix que, en cas depèn de l'esdeveniment A.

El següent pas ens trobem amb la probabilitat d'aplicació simultània, és a dir, multiplicar A i B. El seu treball és el següent: la probabilitat d'un esdeveniment multiplicat per la probabilitat condicional d'una altra, es calcula, en el cas que s'ha produït el primer cas, és a dir, la primera targeta que va treure un as.

Per arribar a ser tot està clar, donar la designació element tal com la probabilitat condicional de esdeveniment. Es calcula suposant que l'esdeveniment A succeir. Es calcula com segueix: P (B / A).

Estenem la solució al nostre problema: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) o P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). La probabilitat és (4/36) _* ((3/35) / (4/36) es calcula mitjançant l'arrodoniment a la centèsima més pròxima Tenim: _* .. 0,11 (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. la probabilitat que ens acostem a terme dos asos en una fila és igual a nou centèsimes. el valor és molt petit, es dedueix que la probabilitat d'ocurrència d'un esdeveniment és extremadament baix.

habitació oblidat

Oferim a fer algunes més opcions de llocs de treball que estudia la teoria de la probabilitat. Exemples de solucions d'alguns dels que he vist en aquest article, tracten de resoldre el següent problema: El noi es va oblidar el número de telèfon de l'últim dígit del seu amic, però ja que la trucada va ser molt important, i després va començar a recollir cada un d'ells. Hem de calcular la probabilitat que trucaria a no més de tres vegades. la solució més simple del problema, si coneix les regles, lleis i axiomes de la teoria de la probabilitat.

Abans de veure una solució, tractar de resoldre pel seu compte. Sabem que aquesta última xifra pot ser de zero a nou, per a un total de deu valors. puntuació de probabilitat requerida és de 1/10.

A continuació hem de considerar les opcions per a l'origen dels esdeveniments, anem a suposar que el nen va encertar i va guanyar la dreta, la probabilitat que aquest tipus d'esdeveniments és igual a 1/10. La segona opció: el primer full de la trucada, i el segon objectiu. Calculem la probabilitat de tals esdeveniments: 9/10 multiplicat per 1/9 al final obtenim com 1/10. La tercera opció: la primera i segona convocatòria va resultar ser la direcció equivocada, només el tercer nen era on volia. Calcular la probabilitat de tals esdeveniments: 9/10 multiplica per 8/9 i 1/8, s'obté com a resultat de 1/10. Altres opcions en la condició del problema no ens interessa, això ens queda per establir aquests resultats, al final tenim un 3/10. Resposta: La probabilitat que un nen podria anomenar no més de tres vegades, igual a 0,3.

Les targetes amb els nombres

Abans de nou cartes, cadascun dels quals està escrit un número de l'u al nou, els números no es repeteixen. Es posen en una caixa i es barregen a fons. Cal per calcular la probabilitat que el

• laminat en un nombre parell;
• una de dos dígits.

Abans de procedir a la decisió estipular que m - és el nombre de casos reeixits, i n - és el nombre total d'opcions. Anem a trobar la probabilitat que el nombre és parell. No és difícil de calcular que fins i tot els números de quatre, i és la nostra m, els nou opcions possibles, és a dir, m = 9. Llavors, la probabilitat és igual a 0,44 o 4/9.

Considerem el segon cas, el nombre de variants de nou anys, i un resultat reeixit no podem estar en absolut, és a dir, m és zero. La probabilitat que la targeta allargada contindrà un nombre de dos dígits, com zero.