Les sèries de Fourier: la història i la influència del mecanisme matemàtic per al desenvolupament de la ciència

les sèries de Fourier - aquest punt de vista triat arbitràriament funcions per al període consecutiu. En termes generals, aquesta solució es diu l'element d'expansió en una base ortogonal. L'expansió de funcions en sèries de Fourier és una eina molt poderosa per resoldre diversos problemes a causa de les propietats de la transformació en la integració, diferenciació, així com un canvi en l'expressió i argumentació de convolució.

Una persona que no està familiaritzat amb les matemàtiques superiors, així com amb les obres del científic francès Fourier, més probable és que no va a entendre el que el "files" i el que fan. No obstant això, aquesta transformació és bastant entrar fermament les nostres vides. S'utilitza no només les matemàtiques, sinó també físics, químics, metges, astrònoms, els sismòlegs, oceanògrafs i altres. També hem de fer una ullada més de prop amb les obres del gran científic francès que van fer el descobriment, per davant del seu temps.

L'home i la transformada de Fourier

sèrie de Fourier és un dels mètodes (juntament amb l'anàlisi i altres) de la transformada de Fourier. Aquest procés es porta a terme cada vegada que una persona escolta cap so. El nostre sentit converteix automàticament l'ona de so. moviment oscil·latori de les partícules elementals en un mitjà elàstic s'expandeix en la sèrie (l'espectre) valors de volum successives per tons de diferents altures. A continuació, el cervell converteix aquestes dades en sons familiars per a nosaltres. Tot això se suma al nostre desig o la consciència mateixa, però per tal d'entendre els processos que tenen diversos anys per estudiar matemàtiques superiors.

Llegir més sobre la transformada de Fourier

La transformada de Fourier es pot dur a terme anàlisis, els números i altres mètodes. sèries de Fourier són procés numeral per a la descomposició dels processos oscil·latoris - de les marees de l'oceà i les ones de llum als cicles solars (i altres objectes astronòmics) activitat. L'ús d'aquestes tècniques matemàtiques, és possible desmuntar la funció, representant tots els processos oscil·latoris en un nombre de components sinusoïdals que van del mínim al màxim i viceversa. La transformada de Fourier és una funció que descriu la fase i amplitud de sinusoides corresponents a una freqüència particular. Aquest procés es pot utilitzar per resoldre un molt complexes equacions que descriuen els processos dinàmics que es produeixen sota l'acció de la calor, la llum o energia elèctrica. A més, la sèrie de Fourier s'utilitza per distingir components de CC en les formes d'ona complexes, pel que és possible interpretar correctament les observacions experimentals en la medicina, la química i l'astronomia.

informació històrica

El pare fundador d'aquesta teoria és el matemàtic francès Zhan Batist Zhozef Fure. El seu nom més tard i aquesta transformació ha estat cridat. Inicialment, els científics van utilitzar una tècnica per estudiar i explicar els mecanismes de conductivitat tèrmica - propagació de la calor en els sòlids. Fourier va suggerir que la distribució irregular inicial de l'ona tèrmica es pot descompondre en sinusoide simple, cadascun dels quals tindrà la seva temperatura mínima i màxima, així com la seva fase. Per tant cada component a mesurar de mínim a màxim versa i el vici. La funció matemàtica que descriu els pics superior i inferior de la corba, així com la fase de cada harmònic, cridada la transformada de Fourier de la distribució de temperatura d'expressió. L'autor de la teoria de la reducció de la funció general de distribució que és difícil de descripció matemàtica, d'una manera molt fàcil de manejar una sèrie de funcions periòdiques de sinus i el cosinus, en la quantitat de donar la distribució inicial.

El principi de la conversió i les opinions dels contemporanis

Contemporanis del científic - els matemàtics més importants de principis del segle XIX - no van acceptar aquesta teoria. La principal objecció va ser l'aprovació de Fourier que la funció discontínua que descriu una línia recta o corba es trenca, pot ser representada com una suma d'expressions sinusoïdals que són contínues. Com a exemple, un "pas" Heaviside: el seu valor és zero a l'esquerra de la bretxa i un a la dreta. Aquesta funció descriu la dependència del corrent elèctric en la variable de temps per a la cadena de tancament. La teoria contemporània en aquest moment, mai s'havia trobat una situació tal, quan una expressió discontínua seria descrit per una combinació de, les funcions comuns continus, com exponencial, si, lineal o quadràtica.

El que molestava als matemàtics francesos de la teoria de Fourier?

Després de tot, si un matemàtic va ser dret a discutir, a continuació, sumant una sèrie de Fourier trigonomètrica infinita, és possible obtenir una representació exacta de l'etapa d'expressió, fins i tot si té un conjunt de passos similars. A principis del segle XIX, aquesta declaració semblava absurd. Però malgrat tots els dubtes, molts matemàtics han ampliat l'abast de l'estudi d'aquest fenomen, portant-la més enllà dels estudis de conducció tèrmica. No obstant això, la majoria dels científics van continuar patint la pregunta: "Pot la suma de la sèrie d'ona sinusoïdal convergeix al valor exacte d'una funció discontínua"

La convergència de la sèrie de Fourier: exemple

El tema de la convergència s'eleva cada vegada que necessita la suma d'una sèrie infinita de nombres. considerar un exemple clàssic per a la comprensió d'aquest fenomen. Potser arribi mai la paret, si cada pas és la meitat de l'anterior? Suposem que vostè està a dos metres de la meta, el primer pas més a prop de la meitat camí, el següent - La marca d'un tres quartes parts, i després de la cinquena, que serà superada gairebé el 97 per cent del camí. No obstant això, no importa la quantitat de passos que has fet tampoc, l'objectiu d'arribar en un sentit matemàtic estricte. Usant càlculs numèrics, podem provar que al final pot estar més a prop d'una distància donada arbitràriament petita. Això és equivalent a una prova que demostra que el valor total de la meitat, un quart, i així successivament. E. tendirà a la unitat.

El tema de la convergència: la segona vinguda, o un instrument de Lord Kelvin

En repetides ocasions es va plantejar la qüestió a la fi del segle XIX, quan la sèrie de Fourier han tractat d'utilitzar per predir la intensitat dels fluxos i refluxos. En aquest moment, Lord Kelvin va ser inventat dispositiu és un ordinador analògic que va permetre mariners de l'Armada i el monitor de la marina mercant és un fenomen natural. Aquest mecanisme definit conjunt de fases i amplituds de l'altura de la taula de les marees i els moments de temps corresponents, mesura acuradament al port durant tot l'any. Cada paràmetre és una sinusoïdals altures de les marees expressió component i va ser un dels components regulars. Els resultats de mesurament s'introdueixen en el dispositiu de computació Lord Kelvin, sintetitzant corba que va predir altura de l'aigua com una funció de l'any següent. Molt aviat, aquestes corbes es van elaborar per a tots els ports del món.

I si el procés es trencarà funció discontínua?

En aquell moment, semblava obvi que el dispositiu de predicció d'una onada, amb molts elements del compte pot calcular un gran nombre de fases i amplituds, i així proporcionar una predicció més precisa. No obstant això, va resultar que aquest patró no s'observa en els casos en què l'expressió de marea que es sintetitza, contenia un fort salt, és a dir, són discontinus. En el cas que l'aparell per entrar dades d'una taula de punts de temps, calcula uns coeficients de Fourier. Recuperació de la funció original a causa de la component sinusoïdal (d'acord amb els coeficients que es troben). La discrepància entre l'original i l'expressió reconstruïda pot mesurar-se en qualsevol punt. Quan els càlculs i comparacions de repetició es pot veure que el valor de la major error no es redueix. No obstant això, ells es localitzen a la regió corresponent al punt de trencament, i qualsevol altre punt tendeixen a zero. En 1899, aquest resultat es va confirmar teòricament Joshua Willard Gibbs de la Universitat de Yale.

La convergència de les sèries de Fourier i el desenvolupament de les matemàtiques en el seu conjunt

anàlisi de Fourier no s'aplica a les expressions que contenen un nombre infinit de ràfegues en períodes concrets. En les sèries de Fourier general, si la funció original està representada pel resultat dels mesuraments físiques reals, sempre convergir. Les qüestions de convergència d'aquest procés per a classes específiques de funcions han donat lloc a noves branques de les matemàtiques, com la teoria de funcions generalitzades. S'associa amb noms com ara Schwartz, J .. Mikusiński i J. Temple. Segons aquesta teoria, una base teòrica clara i precisa per a aquesta expressió s'ha establert com la funció delta de Dirac (que descriu la regió d'una zona única, es va concentrar en un barri infinitesimal del punt) i "pas" Heaviside. A través d'aquest treball es va convertir en sèrie de Fourier és aplicable per a resoldre equacions i problemes, que impliquen conceptes intuïtius: càrrega puntual, massa puntual, dipols magnètics, i la càrrega concentrada a la biga.

mètode de Fourier

les sèries de Fourier, de conformitat amb els principis de la interferència, comença amb la descomposició de les formes complexes en compostos més simples. Per exemple, un canvi en el flux de calor a causa de la seva pas a través de les diverses barreres de calor de material de forma irregular aïllant o el canvi de la superfície del sòl - un terratrèmol, un canvi en l'òrbita del cos celeste - la influència dels planetes. Típicament, aquestes equacions que descriuen senzilla elemental sistema clàssic resolts per a cada longitud d'ona individual. Fourier ha demostrat que les solucions simples es poden resumir com per a tasques més complexes. En el llenguatge de les matemàtiques, les sèries de Fourier - una metodologia per a la presentació de summa expressió de l'harmònica - cosinus i ones sinusoïdals. Per tant, aquesta anàlisi també es coneix sota el nom de "anàlisi harmònica".

les sèries de Fourier - un mètode ideal per a la "era de la informàtica"

Abans de la creació de la tecnologia informàtica mètode de Fourier és la millor arma en l'arsenal dels científics que treballen amb la naturalesa ondulatòria del nostre món. les sèries de Fourier en forma complexa li permet no només per resoldre problemes senzills que són susceptibles de dirigir l'aplicació de les lleis de la mecànica de Newton, sinó també les equacions fonamentals. La major part dels descobriments de la ciència newtoniana del segle XIX només va ser possible a causa del mètode de Fourier.

les sèries de Fourier avui

Amb el desenvolupament de la transformada de Fourier ordinadors s'han elevat a un nou nivell. Aquesta tècnica està fermament arrelada en gairebé tots els camps de la ciència i la tecnologia. A tall d'exemple, un àudio i vídeo digital. La seva posada en marxa ha estat possible només gràcies a la teoria desenvolupada pel matemàtic francès de principis del segle XIX. Per tant, la sèrie de Fourier en forma complexa ha permès fer un gran avanç en l'estudi de l'espai exterior. A més, s'ha afectat l'estudi de la física dels materials semiconductors i el plasma, l'acústica de microones, oceanografia, radar, sismologia.

sèries trigonomètriques de Fourier

En matemàtiques, una sèrie de Fourier és una forma de representar funcions complexes arbitràries com una suma de més simple. En els casos generals, el nombre d'expressions pot ser infinita. Com més gran és el nombre comptat en el càlcul, s'obté més precís serà el resultat final. L'ús més comú de cosinus trigonomètric simple o funció si. En aquest cas, la sèrie de Fourier es diu trigonomètriques, i la decisió de tals expressions - la descomposició harmònica. Aquest mètode té un paper important en les matemàtiques. En primer lloc, la sèrie trigonomètrica proporciona un mitjà per a la imatge, així com l'estudi de les funcions, és la unitat principal de la teoria. A més, ens permet resoldre una sèrie de problemes en física matemàtica. Finalment, aquesta teoria ha contribuït al desenvolupament de l'anàlisi matemàtica, que va donar lloc a una sèrie de branques molt importants de la ciència matemàtica (teoria de la integral, la teoria de funcions periòdiques). A més, el punt de partida per al desenvolupament de les següents teories: conjunts, funcions d'una variable real, l'anàlisi funcional, i també va establir les bases per a l'anàlisi harmònica.