Què és un nombre de coma flotant?

La presentació dels nombres reals (o reals), on s'emmagatzemen com una mantissa i exponent són nombres de punt flotant (tal punt, com és habitual en els països de parla anglès). Tot i això, el nombre es proporciona amb una precisió relativa fixa i canviant absoluta. La representació que s'utilitza amb més freqüència, aprovada IEEE 754. operacions matemàtiques estàndard que utilitzen els números de coma flotant estan implementades en sistemes de computació - tant de maquinari com de programari.

Punt o una coma

La llista detallada de separador decimal identifica aquells països i anglofitsirovannye de parla anglès, on els registres de nombres separats per una part fraccionària de tota la qüestió, perquè la terminologia d'aquests països van adoptar el nom de punt flotant - "punt flotant". A la Federació Russa, la part fraccionària de la totalitat de la tradició, separats per una coma, el que representa el mateix concepte ha reconegut històricament el terme "punt flotant". No obstant això, avui dia en la documentació tècnica i en la literatura russa es permet dues opcions.

El terme "punt flotant" es va originar en el fet que una representació de numeració posicional és una coma (decimal o binari normal, - un ordinador) que poden cabre en qualsevol lloc entre els números de línies. Aquesta característica està segur d'estipular per separat. Això vol dir que la representació de nombres de punt flotant pot ser considerat com una aplicació informàtica de la notació exponencial. L'avantatge d'utilitzar una representació d'un nombres enters format de representació de punt fix i que gamma de valors tan creix significativament quan que la precisió relativa es manté sense canvis.

exemple

Si la coma en el nombre de fix, i després gravar-ho en un sol format. Per exemple, donat una mica d'una en nombre de sis i dos dígits en la part fraccionària. Això es pot fer només d'aquesta manera: 123.456,78. El format de nombres de punt que dóna un ampli marge per a l'expressió flotant. Per exemple, donat els mateixos vuit dígits. Opcions de gravació poden ser qualsevol si el programador no fa dos dígits escatima camp addicional deure, en el qual anotarà els exponents que són típicament de 10, i de 0 a 16, i les descàrregues mentre que el nombre total serà de 10 ago +2.

Algunes realitzacions de la gravació, que li permet formatar nombres amb coma flotant: 12345678000000000000; , 0000012345678; 123.45678; 1.2345678 i així successivament. En aquest format, hi ha fins i tot una unitat de mesura de la velocitat! Per contra, el rendiment d'un sistema d'ordinador que registra la velocitat a la qual l'equip realitza operacions on hi ha representació de nombres de punt flotant. Aquest rendiment es mesura en termes de FLOPS (operacions de coma flotant per segon, que es tradueix en el nombre de transaccions per segon amb un punt flotant). Aquesta és la unitat bàsica de la velocitat del sistema informàtic de mesurament.

estructura

Número de registre en el format de coma flotant és necessària la següent manera, l'observació de la seqüència de les parts obligatòries, ja que aquest registre és exponencial, que mostra els nombres reals com una mantissa i l'ordre. Cal per representar nombres massa grans i massa petites, que són molt més fàcils de llegir. parts necessàries: el número registrat (N), la mantissa (M), l'ordre del senyal (p) i l'ordre (n). Les dues últimes característiques del senyal. Per tant, N = ^M. n ^p. Així per escrit els nombres de punt flotant. Exemples seran variades.

1. Cal registrar el nombre d'un milió, per tal de no perdre en els zeros. 1000000 - que és un registre normal, l'aritmètica. Un ordinador és com segueix: ^{1.0. 6 d'octubre.} És a dir, deu elevat a la sisena potència - tres signes, que caben en un màxim de sis zeros. D'aquesta manera es produeix la representació dels nombres de punt fix i flotant on immediatament pot detectar diferències en l'ortografia.

2. I un nombre tan dur és 1435000000 (un mil quatre de trenta-cinc mil) també es pot escriure simplement: ^{1435. Setembre 10} només. El mateix succeeix amb un signe menys pot escriure qualsevol nombre. Això és tot, i difereixen entre si amb el nombre de punt fix i flotant.

Però és més del que sigui baixa? Sí, amb massa facilitat.

3. Per exemple, com la marca número un milió? = 0.000001 ^1.0. 10 ^-6. Enormement facilitat i escriure els números, i llegir-lo.

4. A més complicat? Cinc-cents mil milionèsima quaranta-sisè: 0,000000546 = ^546. 10 ^-9. Aquí. El rang de punt flotant és molt àmplia.

forma

Nombre de document pot ser normal o normalitzada. Normal - sempre respectar la precisió dels nombres de punt flotant. Cal assenyalar que la mantissa en aquesta forma, sense tenir en compte el signe, és la meitat de l'interval de 0 1, a continuació, 0 ⩽ a <1. No en la forma normal de la quantitat de perd la seva precisió. El desavantatge de la forma normal és que molts números poden escriure de diferents maneres, és ambigua. Exemple diferents registres del mateix nombre: 0 = 0,0001, ^{000001. 10} de febrer de = ^{0,00001. 10} de gener de = ^0,0001. 10 ⁰ = ^0,001. 10 ^-1 = ^0,01. 10 ^-2, i per tant pot ser molt més. És per això que l'equip utilitza una notació normalitzada diferent, on el decimal mantissa assumeix el valor de les unitats (inclòs), i per tant a deu (no inclòs), i de la mateixa forma en què el nombre binari de mantissa té un valor entre un (inclòs) a dues (no inclosos).

Així, ⩽ 1 a <10 Est -. Números binaris amb punt flotant, i aquesta forma de gravar qualsevol nombre (excepte el zero) capta d'una manera única. Però també hi ha un inconvenient - la incapacitat d'imaginar aquest tipus de zero. Per tant, la informàtica proporciona per a l'ús dels números especials 0 signe (bit). La part sencera de (MSB) de la mantissa en el nombre binari excepte zero en una forma normalitzada és igual a 1 (unitat implícita). Aquest registre s'utilitza estàndard IEEE 754. El sistema de numeració posicional, en el qual la base és més de dos (ternari, quaternari i altres sistemes), aquesta propietat no es compra.

reals

nombres reals amb punt flotant i són en general de la mateixa manera que no és l'únic, sinó una forma molt convenient per representar un nombre real, per així dir-ho, un compromís entre el rang de valors i precisió. Això és anàleg a la notació exponencial, només es realitza en l'equip. nombre de coma flotant - un conjunt de bits individuals es divideix en un senyal (senyal), ordre (exponent) i mantissa (mantis). El format més comú és un nombre 754 de coma flotant IEEE com un conjunt de bits que codifiquen una part del seu mantissa, d'altra - el grau i el bit indica el signe del nombre: zero - si és positiu, la unitat - si el número és negatiu. El procediment complet es registra per un nombre (codi de desplaçament), i la mantissa - en una forma normalitzada, la seva part fraccionària - en el sistema binari.

Cada signe - és un sol bit que indica el signe per a tots els números de punt flotant. Mantissa i l'ordre - són nombres enters, que, juntament amb el senyal i fer que la representació de nombres de punt flotant. El procediment pot ser anomenat un exponencial o exponent. No tots els nombres reals poden ser representats en un ordinador en el seu significat exacte, els altres es presenten valors aproximats. Una opció molt més senzill - que presenti un nombre real amb un punt fix, on la realitat i la part sencera es mantindran separats. El més probable, de manera que la part sencera sempre està assignat X bits, i una fracció - I bits. Però l'arquitectura dels processadors no són conscients d'un procediment d'aquest tipus, però es dóna preferència a causa del nombre de coma flotant.

addició

A més dels números de punt flotant és bastant simple. En relació amb el nombre de precisió simple IEEE 754 que té un gran nombre de bits, pel que és millor per passar als exemples, amb una millor idea de prendre el nombre de coma flotant més petit. Per exemple, els dos números - X i Y.

Els passos que diuen així:

a) Els nombres han d'estar representats en forma normalitzada. Està clar que és un ocult. X = ^1,110. 2 ^2, i I = ^1000. 2 ^0.

b) Continuar el procés de composició només pot igualar els expositors, però necessita tornar a escriure el valor d'I Es correspondrà al valor dels nombres normalitzats, encara que en realitat - unnormalizes.

Calcular la diferència entre els exponents de grau de 2 - 0 = 2. Ara mogui la mantissa per compensar aquests canvis, és a dir, afegir 2 a l'índex del segon terme, movent així una coma unitats ocultes en dos punts a l'esquerra. ^{s'obté 0,0100. 2} de ^febrer. Aquest serà l'equivalent del valor anterior I, llavors ja hi ha una I '.

c) Ara ha de sumar el nombre de mantissa X i Y. ajustat

1,110 + 0,01 = 10,0

Expositor encara està representat pel paràmetre X, que és igual a 2.

g) La quantitat rebuda en el pas anterior, es va desplaçar la unitat de normalització, llavors vostè necessita per canviar la suma exponent i repetir. 10.0 amb dos bits a l'esquerra del punt decimal, el nombre és ara necessari normalitzar, és a dir, moure la coma a l'esquerra per un punt, i exponent, respectivament, augmentat en 1. Resulta ^{1000. 2} de ^març.

e) És hora de convertir un nombre en coma flotant en el sistema d'un sol byte.

conclusió

Com es pot veure, afegir aquests números no són massa dur, qualsevol cosa que suri per comes. Llevat que, per descomptat, a excepció del que el nombre d'exponent menor entre els més (en l'exemple anterior, va ser el I a X), així com la restauració de la situació actual, és a dir, la qüestió de la compensació - moure el punt decimal a l'esquerra de la mantissa. Quan ja s'ha aplicat l'addició, és molt possible i encara un problema - perenormirovanie i el bit de truncament si el seu nombre no coincideix amb el nombre de representar-la.

multiplicació

sistema binari ofereix dos mètodes pels que multiplica els números de punt flotant. Aquesta tasca pot ser realitzada per la multiplicació, que comença amb els bits menys significatius i que comença amb els bits d'ordre superior al multiplicador. Tots dos casos contenen una sèrie d'operacions d'apilament seqüencialment producte parcial. Aquestes operacions són controlades per l'addició de bits multiplicadors. Per tant, si un dels bits del multiplicador és una unitat, la suma dels productes parcials del multiplicant creix amb un canvi corresponent. Si un dígit del multiplicador es va arrossegar zero, mentre que no s'afegeix el multiplicant.

Si la multiplicació es porta a terme només dos nombres, el producte dels nombres del seu import no pot excedir el nombre de dígits que figuren en els factors, més de dues vegades, i per a un gran nombre és molt, molt. Si multiplicat per algun nombre, el producte no corre el risc que càpiga a la pantalla. A causa que el nombre de bits de qualsevol màquina digital és molt finit, i s'obliga a confinar un màxim de dues vegades el nombre de sumadors dígits. I si el nombre de places és limitat, en el producte introduirà inevitablement errors. Si la quantitat de càlcul és gran, l'error de solapament, i com a resultat augmenta en gran mesura la precisió global. En aquest cas, l'única manera - per arrodonir els resultats de la multiplicació, llavors les obres d'error s'alternen. Quan una operació de multiplicació, es fa possible anar més enllà de la reixa de dígits, però només pel menor, perquè no hi ha un límit impost sobre el nombre dels quals estan representats en forma de punt fix.

algunes explicacions

Millor començar des del principi. La forma més comuna per a representar el nombre - números de línia com un sencer, on la coma està implícita en el final. Aquesta cadena pot ser de qualsevol longitud, però una coma es troba en el lloc adequat per posar-lo, separant el nombre sencer de la part fraccionària de la mateixa. El format de presentació del sistema de punt fix posa necessàriament certes condicions de la ubicació del punt decimal. La notació científica utilitza una vista normalitzat estàndard de la representació dels nombres. Es AQN {\ displaystyle aq ^ {n }} aq n. Ací un {\ displaystyle ^a} a, i es diu l'encaix mantissa. Gairebé s'ha dit que un 0 ⩽ clar: n {/ displaystyle n} n - un exponent sencer, i ^q {/ displaystyle q} q - també un nombre sencer, que és la base de la radix (una lletra és sovint 10). Mantissa deixar una coma després del primer dígit, el que no és zero, però encara més la gravació es transfereix a la informació sobre el valor actual del nombre.

nombre de coma flotant està escrit molt similar a tots els números d'entrada estàndard clares, només l'exponent i mantissa es registren per separat. L'últim en la mateixa i en un format normalitzat - punt fix, que està decorat amb el primer dígit significatiu. Només coma flotant s'utilitza principalment en l'ordinador, és a dir, en la representació electrònica que el sistema no és decimal i binari, on fins i tot mantissa desnormalitzar punt reordenats - ara és abans que el primer dígit, llavors abans, no després, quan la part sencera en principi, no pot ser. Per exemple, el nostre propi sistema decimal donaria el seu sistema binari de nou per a ús temporal. I això va a gravar i la seva mantissa de punt flotant com això: 1001000 ... 0, i ell i l'índex 0 ... 0100. Però el sistema decimal deixa de produir aquest tipus de càlculs complexos, que poden ser en binari, mitjançant la forma de coma flotant.

llarga aritmètica

En els ordinadors electrònics han incorporat en paquets de programari, on assignats per a la mantissa i exponent de la quantitat de programari de memòria especificada, limitat només per la grandària de la memòria de l'ordinador. S'assembla a una llarga aritmètica, és a dir, les operacions senzilles de nombres que realitza l'ordinador. És tot el mateix - suma i resta, divisió i multiplicació, funcions elementals i la construcció de l'arrel. Però el nombre de molt diferents, la seva capacitat és significativament més gran que la longitud de la paraula màquina. La realització d'aquestes operacions no és pel maquinari i el programari, però és àmpliament utilitzat maquinari bàsic per treballar amb un nombre molt menor de comandes. Hi ha més i l'aritmètica, on els números de longitud només limitades per la capacitat de memòria - aritmètica de precisió arbitrària. Una llarga aritmètica s'utilitza en molts camps.

1. Per a compilar el codi (processadors, microcontroladors amb baixa profunditat de bits - registres de 10 bits i la longitud de la paraula de vuit bits, no és suficient per manejar la informació de l'analògica a digital (analògic a digital), i per tant no pot prescindir d'una llarga aritmètica.

2. Es també una llarga aritmètica s'utilitza per a la criptografia, on és necessari per garantir l'exactitud del resultat de la exponenciació o multiplicació a ^10.309. aritmètica de sencers s'utilitza mòdul m - un gran nombre natural, i no és necessàriament simple.

3. Programari per financers i matemàtics, també, no deixa de tenir un llarg aritmética, perquè l'única manera de verificar els resultats dels càlculs sobre el paper - amb l'ajut de l'ordinador, que garanteix una alta precisió dels nombres. punt flotant que pot afectar qualsevol nombre de descàrrega llarg. No obstant això, els càlculs d'enginyeria i el treball de científics requereixen càlculs del programa d'intervenció molt sovint, ja que és molt difícil fer que les dades d'entrada sense cometre errors. en general són molt més voluminosos que els resultats d'arrodoniment.

Lluita amb errors

Quan una sèrie d'operacions en què el punt flotant, és molt difícil avaluar l'exactitud dels resultats. però, no s'ha inventat satisfer tota la teoria matemàtica que ajudaria a resoldre aquest problema. No obstant això, el nombre sencer d'error avaluar fàcilment. La possibilitat de desfer-se de les inexactituds en la superfície - només ha d'utilitzar només el nombre de punt fix. Per exemple, un programa financer basa en aquest principi. No obstant això, no són més simples: el nombre requerit de dígits després del punt decimal es coneix per endavant.

Altres aplicacions no es limiten a, perquè no es pot treballar tant amb nombres molt petits o molt grans. Així que quan es treballa sempre té en compte que pot haver imprecisions, ia causa de la derivació dels resultats cal ronda. D'altra banda, l'arrodoniment automàtic és sovint una manca d'acció, i l'arrodoniment per tant es defineix específicament. Molt perillós en aquest sentit, l'operació de comparació. Hi ha fins i tot estimar l'quantitat d'errors en el futur és extremadament difícil.