Això és tangent al cercle? Les propietats de la tangent al cercle. La tangent comú als dos cercles

Secants, tangents - tot això centenars de vegades es podien escoltar en les lliçons de geometria. Però el tema de l'escola darrere, passi l'any, i tot aquest coneixement oblidat. Què hauria de recordar?

essència

El terme "tangent al cercle" senyal, potser, de tot. Però és poc probable que tot va a formular una definició ràpida. Mentrestant anomenat una línia tangent situada al mateix pla que el cercle que interseca que en un sol punt. La seva miríada pot existir, però tots ells tenen les mateixes propietats, que seran discutits més endavant. Com es pot endevinar, el punt de contacte es refereix al lloc on el cercle i la línia es creuen. En cada cas, és un, si hi ha més, llavors serà transversal.

La història de la descoberta i l'estudi

El concepte d'una tangent aparèixer en els temps antics. La construcció d'aquestes línies per al primer cercle i, a continuació, a les el·lipses, paràboles i hipèrboles amb una regla i un compàs celebrada encara en les primeres etapes del desenvolupament de la geometria. Per descomptat, la història no ha conservat el nom del descobridor, però està clar que fins i tot en aquest moment la gent estava ben conegudes propietats de la tangent al cercle.

En els temps moderns l'interès per aquest fenomen va esclatar de nou - es va iniciar una nova ronda d'estudi d'aquest concepte en conjunció amb l'obertura de noves corbes. Per tant, Galileu va introduir el concepte de cicloide i Fermat i Descartes va construir una tangent a aquesta. Pel que fa als cercles, pel que sembla, és dels secrets antics que queden en aquesta zona.

propietats

Ràdio traçat fins al punt d'intersecció serà perpendicular a la línia. aquest principal, però no l'única propietat que és tangent al cercle. Una altra característica important ja inclou dos partits consecutius. Així, a través d'un sol punt, que es troba fora del cercle, és possible extreure dues tangents, i les seves longituds són iguals. Hi ha un altre teorema sobre aquest tema, però poques vegades es porta a terme en el marc del curs estàndard, però és extremadament útil per resoldre certs problemes. Es va de la següent manera. Des d'un punt situat fora del cercle, traçar una tangent i secant a la mateixa. segments formats AB, AC i AD. A - la intersecció de línies, B el punt de tangència, C i D - cruïlla. En aquest cas, l'equació és vàlida: la longitud de la tangent al cercle, quadrat, és igual al producte dels segments AC i AD.

A partir de l'anterior, hi ha un corol·lari important. Per a cada punt del cercle, es pot construir una tangent, però només un. La prova d'això és bastant simple: en teoria, al capdavall perpendicular des del ràdio, ens adonem que formen un triangle no pot existir. I això vol dir que la tangent - l'únic.

edifici

Entre altres tasques en la geometria és una categoria especial, per regla general, no es és estimat pels alumnes i estudiants. Per resoldre les tasques d'aquesta categoria només es necessita una brúixola i un regle. És la tasca de la construcció. Cal construir la tangent.

Per tant, donat un cercle i un punt situat fora de les seves fronteres. I el que necessita per navegar a través d'ells tangent. Com ho fas? En primer lloc, cal passar l'interval entre el centre del cercle O i el punt establert. Després, amb l'ajuda d'una brúixola ha de dividir per la meitat. Per a això, ha d'establir el radi - poc més de la meitat de la distància entre el centre del cercle i el punt original. Després cal construir dos arcs d'intersecció. El radi en el canvi no ha de ser la brúixola, i el centre de cada costat del cercle serà el punt original, i O, respectivament. Llocs arcs d'interseccions que necessiten connectar-secció tallada per la meitat. Pregunti al radi del compàs igual a la distància. A més, amb el centre a la intersecció de construir un altre cercle. Es basa en tant el punt original, i O. En aquest cas, hi haurà dues interseccions amb aquest problema en un cercle. Que van a ser punts de contacte per al punt indicat al principi.

interessant

S'està construint una tangent al cercle va portar al naixement càlcul diferencial. El primer treball sobre aquest tema va ser publicat pel famós matemàtic alemany Leibniz. Es preveu la possibilitat de trobar els màxims, mínims i tangents, independentment de les quantitats fraccionàries i irracionals. Doncs bé, ara s'utilitza per a molts altres càlculs.

A més, la tangent al cercle associat amb el sentit tangent geomètrica. És a partir d'això, i el seu nom prové. Traduït de l'tangens Llatina - "tangent". Per tant, aquest concepte no és només una geometria i el càlcul diferencial, però amb la trigonometria.

dos cercles

No sempre tangent zatragivet una sola figura. Si vostè pot passar un gran nombre de línies d'un cercle, llavors per què no a l'inrevés? Possible. Això és només el problema en aquest cas es veu seriosament complicat, pel fet que la tangent als dos cercles no pot passar per qualsevol punt, i la posició relativa de totes aquestes xifres poden ser molt diferent.

Tipus i varietats

Quan es tracta dels dos cercles i una o més línies, a continuació, fins i tot si se sap que es tracta, no és clar com totes aquestes peces estan disposades en relació entre ells. Sobre aquesta base, hi ha diverses varietats. Així, el cercle pot tenir un o dos punts en comú, o cap en absolut. En el primer cas, es superposen, i el segon - al tacte. I aquí hi ha dues varietats. Si un cercle, ja que s'incrusta en el segon, el tacte es diu interna si no - llavors l'exterior. Entendre la posició relativa de les peces no pot basar-se únicament en el dibuix, però tenir informació sobre la suma dels seus radis i la distància entre els seus centres. Si aquests dos valors són iguals, llavors es toquen els cercles. Si la primera més - es creuen i d'una altra manera - no tenen punts comuns.

El mateix succeeix amb línies rectes. Per a qualsevol dels dos cercles que no tenen punts comuns poden ser
la construcció de quatre tangents. Dues d'elles es solaparan entre les figures, se'ls crida interna. Un parell d'altres - extern.

Si estem parlant de cercles, que tenen un punt en comú, de debò el problema simplificat. El fet és que en qualsevol acord mutu, en aquest cas la tangent que tindrà una sola. I passarà pel punt d'intersecció. Pel que l'edifici no causarà dificultats.

Si les xifres són dos punts d'intersecció, llavors ells poden ser construïts línia tangent al cercle com l'un, i el segon, però només exterior. La solució a aquest problema és similar al que es discutirà més endavant.

Respondre als reptes

Tant tangent interna i externa dels dos cercles en l'edifici no són tan simples, però, i aquest problema es resol. El fet que el patró auxiliar s'utilitza per això, així descobert un mètode tal sol És bastant problemàtic. Per tant, tenint en compte dos cercles amb diferents ràdios i centres O1 i O2. Per a ells, la necessitat de construir dos parells de tangents.

En primer lloc, pel que fa al centre del cercle més gran per construir suport. Alhora, en la brúixola s'ha d'establir la diferència entre els radis de les dues figures originals. Des del centre de la tangent cercle més petit a l'auxiliar construït. Després de la de O1 i O2 es duen a terme aquests perependikulyary recta fins a la intersecció amb les figures originals. Com es desprèn de les propietats bàsiques de la tangent, els punts necessaris es troben en els dos cercles. El problema es resol, almenys en la seva primera part.

Per tal de construir tangents interns s'han de resoldre gairebé un problema similar. Un cop més, necessitem una figura auxiliar, però aquesta vegada el seu radi és igual a la suma de l'original. Per a la seva construcció tangent des del centre d'un d'aquests cercles. El curs addicional de la decisió es pot entendre a partir de l'exemple anterior.

La tangent al cercle, o fins i tot dos o més - no és una tasca tan difícil. Per descomptat, els matemàtics han deixat de resoldre problemes similars manualment i confiar en el càlcul dels programes especials. Però no crec que ara no necessàriament sigui capaç de fer-ho per si sol, ja que per a una formulació correcta de la tasca per a l'equip per fer molt i entendre. Per desgràcia, hi ha el temor que després de la transició final al formulari de prova dels problemes de control de coneixements sobre la construcció farà que els estudiants més i més dificultats.

Pel que fa a trobar les tangents comunes a més cercles, no sempre és possible, fins i tot si es troben en el mateix pla. Però en alguns casos és possible trobar una línia d'aquest tipus.

exemples de la vida

La tangent comú als dos cercles es troba sovint en la pràctica, tot i que no sempre està clar. Transportadors, sistemes modulars, de transmissió de corretges de politges, la tensió del fil en una màquina de cosir, sinó fins i tot només una cadena de bicicleta - tots els exemples de la vida. Així que no crec que els problemes geomètrics queden només en teoria: en l'enginyeria, la física, la construcció i moltes altres àrees estan en ús pràctic.