Cinquè postulat d'Euclides: la redacció

Es creu que els que hi havia fa 10 000 anys, la primera civilització humana. En comparació amb l'edat del nostre planeta, que, segons els científics, és d'uns 4.540.000 d'anys, això és només un breu moment. Per aquesta humanitat "moment" ha fet un gran salt des de les primitives eines de pedra a les naus interplanetàries. No seria possible, si de tant en tant al planeta hauria nascut un geni, la ciència es mou cap endavant. Entre ells, per descomptat, es refereix Euclides. Les seves obres es van convertir en la base i un poderós impuls per al desenvolupament de les matemàtiques modernes.

Aquest article està sobre el cinquè postulat d'Euclides i la seva història.

Com va sorgir la geometria

Atès que els terrenys van ser objecte de lloguer, la mida i l'àrea de venda i lliurament han de ser mesurats, fins i tot mitjançant càlculs. A més, aquests càlculs es fan necessaris en la construcció d'estructures a gran escala, així com el mesurament del volum d'articles diferents. Tot això s'ha convertit en requisits previs de fa 3-4 mil anys a Egipte i Babilònia topografia art. Ha estat empíricament i és una col·lecció de diversos centenars d'exemples de solució de problemes concrets, sense cap prova.

Com a ciència sistemàtica de la geometria desenvolupada a l'antiga Grècia. Ja en el segle III abans de Crist hi havia una gran quantitat de dades i mètodes de proves. No obstant això, va sorgir el problema d'extensió suficient per resumir la recollida de material geomètrica. Ella va tractar de resoldre Hipòcrates Fedii i altres filòsofs antics grecs. No obstant això, lògicament verificat sistema científic només hi havia al voltant de 300 anys abans de Crist. e. amb la publicació de la "Principia".

Qui va ser Euclides

L'antiga Grècia va donar al món molts dels més grans filòsofs i científics. Un d'ells és Euclides, que va esdevenir el fundador de l'escola d'Alexandria de les matemàtiques. Sobre el científic pràcticament no se sap res. Algunes fonts indiquen que el jove futur pare de la geometria moderna estudiat a la famosa escola de Plató a Atenes, i després va tornar a Alexandria, on va continuar els seus estudis de matemàtiques i òptica, així com la composició de música. A la seva ciutat natal, va fundar una escola, on, juntament amb els estudiants i va crear la seva famosa obra, que des de fa més de dos mil anys és la base per a qualsevol llibre de text sobre la geometria geometria plana i.

"Elements" d'Euclides

El principal i més primer treball sistemàtic en la geometria consta de 13 volums. Els quatre primers i el sisè llibres d'acord amb el pla de la geometria, i 11, 12 i 13 - sòlida geometria. Quant als altres volums, que es dediquen a l'aritmètica, que és des del punt de vista de postulats geomètrics.

El paper principal de l'obra d'Euclides en el posterior desenvolupament de les ciències matemàtiques no pot ser sobreestimada. llistes existents de papir diversos dels originals, així com manuscrits bizantins.

En l'Edat Mitjana, es van estudiar "Elements" d'Euclides principalment pels àrabs, que els fa un dels més grans obres del pensament humà i el científic de Damasc considerar. Molt més tard aquestes obres s'interessin els europeus. Amb l'arribada de la impressió ciència, incloent la geometria euclidiana ia no ser conegut només pels elegits. Després de la primera edició en 1533. "elements" estan disponibles per a tots els que vulguin entendre el món, i hi ha més i més cada any. La demanda s'ha creat l'oferta, de manera que es creu que aquest treball és el segon més llegides entre els monuments de l'antiguitat després de la Bíblia.

algunes característiques

Els "elements" descriu les propietats mètriques d'espai tridimensional, buit, il·limitada i isotròpic, el que generalment s'anomena euclidiana. Es considera que és una sorra on hi ha fenòmens de la física clàssica de Galileu i Newton.

objecte geomètric primària, d'acord amb Euclides, és el punt. El segon concepte important - la infinitud de l'espai, que es caracteritza pels tres primers postulats. La quarta es refereix a la igualtat dels angles rectes. Pel que fa al cinquè postulat d'Euclides, llavors es determina les propietats i la geometria de l'espai euclidià.

Segons els científics, la geometria clàssica pare va crear un llibre de text perfecte, l'estudi del que exclou qualsevol malentès del material a causa de la forma de la presentació. En particular, cada volum dels "elements" comença amb la definició dels conceptes es troben per primera vegada. En particular, a partir de les primeres pàgines del llibre primer el lector s'assabenta que un punt, línia, recta i així successivament. En total té uns 23 definicions necessàries per a la comprensió de les disposicions bàsiques dels materials presentats en aquest treball fonamental.

4 el primer axioma i postular Euclides

Després d'un autor dels "elements" ofereix resultats que són acceptades sense proves. Aquests es divideix en axiomes i postulats. El primer grup està format per 11 afirmacions que l'home conegut intuïtivament. Per exemple, vuitè axioma que el tot és més gran que la part, i d'acord amb la primera de dues quantitats, a part igual a tres, iguals entre si.

A més, 5 provoca Euclides postula. Els quatre primers són del tenor següent:

• des de qualsevol punt a qualsevol altre, es pot dibuixar una línia recta;
• des de qualsevol centre de cada ràdio és possible descriure un cercle;
• línia limitada es pot estendre de forma contínua en una línia recta;
• tots els angles rectes són iguals.

cinquè postulat d'Euclides

Des de fa més de dos mil·lennis, aquesta declaració en diverses ocasions es va convertir en l'objecte de l'atenció dels matemàtics. Però primer, per familiaritzar-se amb el contingut del cinquè postulat d'Euclides. Per tant, en la formulació moderna sona com si en un pla en la intersecció de dues rectes terç suma d'un sol costat dels angles interiors de menys de 180 °, llavors aquestes línies mentre continua tard o d'hora conèixer en aquest costat en què aquesta quantitat (quantitat) de menys de 180 °.

el cinquè postulat d'Euclides, que és la redacció de diferents fonts és diferent des del principi va causar l'esport i volen traduir-lo en la categoria dels teoremes mitjançant la construcció d'una prova de so. Per cert, que sovint se substitueix per una altra expressió, de fet, inventat maleït i també conegut com l'axioma de Playfair. Es llegeix de la següent manera: en un pla que passa per un punt que no pertany a una línia donada pot contenir una i només una línia recta paral·lela a aquesta.

idioma

Com ja s'ha esmentat, molts científics han intentat diferents expressar la idea del cinquè postulat d'Euclides. Moltes formulacions són bastant òbvies. Per exemple:

• línies convergents es creuen;
• hi ha almenys un rectangle, és a dir, 4-quadrat amb quatre angles rectes;
• cada figura es pot proporcionalment augmentat;
• Hi ha un triangle que té alguna, arbitràriament gran àrea.

deficiències

La geometria euclidiana va ser les més grans obres matemàtics de l'antiguitat i fins al segle 19, que regnava indiscutible en les matemàtiques. Tot i això, algunes de les seves deficiències s'han observat fins i tot pels contemporanis de l'autor, i antic expert en grec, que va viure una mica més tard. En particular, s'ha afegit un nou axioma d'Arquimedes, que porta el seu nom. Es llegeix com segueix: per a tots els segments AB i CD, no és un nombre enter n, que és n · [AB]> [CD].

A més, els científics han tractat de minimitzar el sistema d'axiomes i postulats euclidians. Per a això, es van dur alguns d'ells cap a fora de la resta.

Pel que va aconseguir "desfer-se" de la cambra postulat de la igualtat dels angles rectes. Per a ell, es va trobar una prova rigorosa, el que es va traslladar a la categoria de teoremes.

Història maig postulat en l'antiguitat i l'Edat Mitjana

La formulació clàssica d'aquesta declaració geometria euclidiana sembla molt menys evidents que els altres quatre. És aquest fet matemàtics embruixades.

L'obstacle per al cinquè postulat euclidià va ser la definició de paral·lelisme de les dues línies A i B, que indica que la suma dels dos angles unilaterals que es formen per la intersecció de A i B d'una tercera línia C recta, igual a 180 graus.

El primer intent per provar-ho com un teorema va ser feta per l'antic geòmetra grec Posidoni. Va proposar considerar un paral·lel directe amb el pla del conjunt de tots els punts que són equidistants de l'original. No obstant això, fins i tot això no va permetre Posidoni va trobar evidència cinquè postulat.

Tampoc va ser en va i els intents d'altres matemàtics, incloent medieval, com l'àrab Ibn Korra i Khayyam. L'única cosa que s'ha aconseguit - l'aparició de nous postulats, que poden ser provats amb base en diversos supòsits.

Als segles 18-19-th

la geometria clàssica segueix interessada en matemàtiques i al segle 18. En particular, prou a prop del postulat de les paral·leles prova podria venir matemàtic francès A. Legendre. Ell va escriure un llibre de text destacat "Elements de la geometria", que està a uns 150 anys va ser el principal ensenyament de les matemàtiques a les escoles de l'imperi rus. En ella el científic va donar tres opcions proven l'axioma de les paral·leles d'Euclides, però tots ells va resultar ser incorrecta.

A principis del segle 19, la idea de crear una geometria euclidiana. La primera descripció del sistema, independent del cinquè postulat, va dirigir un enginyer militar J. Bolyai. Però tenia por del seu descobriment i no va seguir amb la idea, creient que és equivocat. L'èxit no ha estat capaç d'aconseguir i el gran matemàtic alemany Gauss.

ruptura

Des de fa més de 2000 anys de cinquè postulat d'Euclides, la prova de la qual cosa va tractar de trobar centenars de científics, segueix sent el problema número u en les matemàtiques. Avanç fet matemàtic rus NI Lobachevski. Per a ell va aconseguir la primera del món per a descriure les propietats de l'espai real, el que demostra que la geometria euclidiana "funciona" només en el cas particular del seu sistema.

N. I. Lobachewsky inicialment va ser pel mateix camí que el dels seus col·legues. Tractant de demostrar el cinquè postulat, no ho ha aconseguit. Llavors el científic va negar representació euclidiana, segons la qual els angles d'un triangle suma igual a 180 graus. A continuació, es va tractar de demostrar aquesta afirmació per la contradicció i va aconseguir un nou text per a el cinquè postulat. Ara, va admetre l'existència de diverses línies paral·leles a això, i que passa per un punt situat fora d'aquesta línia.

nova geometria

No té sentit discutir que ha fet més per la matemàtica. El paper d'Euclides i Lobachevski influència comparable a la formació i desenvolupament de la física de Newton i d'Einstein. Alhora, el nou, geometria absoluta és possible considerar la noció d'espai, trencant amb el mètode clàssic "pot comprendre només el que es pot mesurar." No obstant això, aquest enfocament es practica a la ciència des de fa milers d'anys.

Malauradament, les idees de la geometria de Lobachevski no van ser acceptades i compreses pels seus contemporanis. En particular, els seus estudiants no es van continuar els treballs del científic i el desenvolupament de la geometria euclidiana es va retardar durant diverses dècades.

Algunes de les característiques de la teoria Lobachevski

Per entendre la nova geometria, cal tenir en compte la infinitud còsmica. De fet, és difícil imaginar que la immensitat de l'univers és la suma dels espais lineals.

geometria Lobachevski s'utilitza per descriure espais corbs que són creats pels camps gravitacionals de galàxies. Es va permetre apartar-se del mètode de l'atenció de totes les figures a la "sobre la dreta" cilindre, cercle, piràmide, o qualsevol combinació d'aquestes formes. Per, exemple, en realitat, el nostre planeta - cap bola, i el geoide, és a dir, una xifra que s'obté pel contorn del contorn exterior de la litosfera (closca dura) de la Terra ...

A la vida real, també són anàlegs d'espais corbs de l'univers, el que permet introduir la possibilitat de l'existència de diverses línies paral·leles de la que passa pel mateix punt. En concret, aquesta superfície corba dels tres tipus que s'assignen italiana geòmetra Beltrami i nomenat E. pseudoesfera.

Un major desenvolupament de la teoria de Lobachevski

Excel·lent russa no va ser l'únic que no se suposa absolut de la geometria euclidiana. En particular, el matemàtic Riemann en 1854 va proposar la idea de la possibilitat de l'existència d'espais de curvatura zero, positiu i negatiu. Això vol dir que pot crear un nombre infinit de diferents geometries no clàssics.

En Riemann de posició, que ha estudiat sobretot l'espai amb curvatura positiva, el cinquè postulat d'Euclides sons bastant inesperada. D'acord amb les seves idees, a través d'un punt exterior a una recta donada no pot sostenir qualsevol línia paral·lela a aquesta.

Molt diferent és el cas dels espais zero, curvatura negativa i positiva de la teoria de Klein. En particular, en el primer cas que es descriuen mitjançant una geometria parabòlica, un cas especial que és la clàssica, la segona - obeir les idees lobachevskiana, i la tercera - coherents amb els descrits per Riemann.

Després de la publicació d'Alberta Eynshteyna teoria de la relativitat, la presentació d'aquests espais es complementen les dades que tinguin en compte l'existència de quatre mesuraments interdependents i canviants - pes, potència, velocitat i temps.

en la pràctica

Si vas a la percepció humana de l'espai, dins de l'òrbita de la Terra durant un triangle gegant de la major quantitat possible de la possible desviació dels angles interiors de 180 graus des del clàssic serà només quatre milionèsimes de segon. Aquest valor està més enllà de les capacitats de l'homo sapiens, per la "terrenal" de la demanda és la geometria euclidiana.

Queda esperar fins que es creïn condicions que permetin obtenir dades experimentals per confirmar o refutar la teoria de N. Lobachevski i Riemann través de la galàxia.

Ara vostè sap que declara el cinquè postulat d'Euclides i la seva història, que és molt instructiu, i ens permet seguir l'evolució de la ment humana en els últims 2300 anys.