Àlgebra de Boole. àlgebra de la lògica. Elements de lògica matemàtica

En el món actual que estem utilitzant cada vegada més una gran varietat de màquines i aparells. I no només quan és necessari aplicar la força sobrehumana, literalment: moure la càrrega per elevar-la a l'altura, cavar la rasa llarga i profunda, etc. Cotxes moment recapten els robots, els aliments es cuinen Multivarki i càlculs aritmètics elementals produeixen calculadores ... Més i més sovint sentim la frase "l'àlgebra de Boole". Potser ha arribat el temps per entendre el paper dels éssers humans en la creació de robots i màquines de la capacitat de resoldre no només matemàtica, sinó també problemes lògics.

lògica

En la lògica grega - un sistema ordenat de pensament que crea la relació entre les condicions donades i li permet fer inferències basades en supòsits i estimacions. Molt sovint, ens preguntem els uns als altres: "És lògic" La resposta confirma les nostres suposicions o critica la línia de pensament. Però el procés no s'atura allà: seguim parlant.

De vegades el nombre de condicions (entrada) és tan gran, i la relació entre ells és tan confús i complex que el cervell humà no és capaç de "Digest" tots alhora. És possible que tingui més d'un mes (setmana, any) per a la comprensió del que està succeint. Però la vida moderna no ens dóna aquests intervals de temps per prendre decisions. I es recorre a l'ajuda d'ordinadors. I és aquí on hi ha un àlgebra i lògica, amb les seves lleis i propietats. Després de descarregar totes les dades originals, permetem que l'equip reconegui totes les relacions, per eliminar les contradiccions i per trobar una solució satisfactòria.

Matemàtiques i la lògica

Famosos Gotfrid Vilgelm Leybnits va formular el concepte de "lògica matemàtica", que les tasques eren fàcils d'entendre només un petit cercle d'erudits. De particular interès és la direcció no va causar, i fins a la meitat del segle XIX de la lògica matemàtica coneguda per pocs.

El gran interès en la comunitat científica ha provocat una controvèrsia en la qual l'anglès Dzhordzh Bul va declarar la seva intenció d'establir una branca de les matemàtiques, no tenir absolutament cap ús pràctic. Com sabem per la història, en aquest moment desenvolupant activament la producció industrial, desenvolupem tot tipus de màquines auxiliars, t. E. Tots els descobriments científics han tingut una orientació pràctica.

De cara al futur, diem que un àlgebra de Boole - el més utilitzat en el món avui en dia part de la matemàtica. Pel que el seu argument Buhl perdut.

Dzhordzh Bul

La personalitat de l'autor mereix una atenció especial. Fins i tot tenint en compte el fet que en el passat les persones van créixer davant nostre, encara cal assenyalar que en els 16 anys de John. Buhl ensenyen a l'escola del poble, a 20 anys i va obrir la seva pròpia escola a Lincoln. Matemàtic dominen perfectament cinc idiomes estrangers, i en el seu temps lliure, estava llegint les obres de Newton i Lagrange. I tot això - el fill d'un treballador comú!

En 1839, Buhl va enviar als seus primers treballs científics en el Cambridge Mathematical Journal. Científic va complir 24 any. El treball de Boole és així que els membres interessats de la Royal Society, en 1844 va rebre una medalla per la seva contribució al desenvolupament del anàlisi matemàtica. S'han descrit un parell d'articles publicats en la qual els elements de la lògica matemàtica, matemàtiques permeten als joves a prendre el lloc de professor en el Col·legi de Comtat de Cork. Recordem que en l'educació molt Boole no ho era.

idea

En principi, l'àlgebra de Boole és molt simple. Hi ha afirmacions lògiques ( expressions) que, des del punt de vista de les matemàtiques, només es poden definir en dues paraules: "veritable" o "fals". Per exemple, els arbres en flor de primavera - la veritat, a l'estiu neva - una mentida. La bellesa de les matemàtiques és que no és estrictament necessari utilitzar només números. Per als judicis de àlgebra exactament a cap de les declaracions amb sentit únic.

Per tant, l'àlgebra de la lògica es pot utilitzar literalment a tot arreu: en la instrucció de programació i l'escriptura, l'anàlisi de la informació contradictòria sobre els esdeveniments i la determinació de la seqüència d'accions. El més important - per adonar-se que no importa com determinem la veritat o falsedat de declaracions. A partir d'aquests "com" i "per què", haurà de passar per alt. El que importa és només una declaració de fet: la veritat és una mentida.

Per descomptat, la programació de les funcions més importants de l'àlgebra de la lògica que es va gravar amb signes i símbols apropiats. I aprendre d'ells - que significa aprendre un nou idioma estranger. Res és impossible.

Conceptes bàsics i definicions

Sense entrar en profunditat, ens ocupem de la terminologia. Per tant, l'àlgebra de Boole pressuposa:

• declaracions;
• operacions lògiques;
• funcions i lleis.

Declaracions - qualsevol expressió afirmativa que pot interpretar-se de dos valors. S'escriuen com números (5> 3) o formulats paraules familiars (elefants - la més gran de mamífers). En aquest cas, la frase "coll de la girafa no és" també té el dret d'existir, només l'àlgebra de Boole definir-lo com "una mentida."

Totes les declaracions han de ser ambigus, sinó que poden ser bàsics o compost. L'ús recent paquet lògic. E. En el compost declaracions d'àlgebra judicis format per l'addició d'operacions lògiques elementals.

operacions d'àlgebra de Boole

Ja tenim en compte que les operacions en l'àlgebra dels judicis - lògic. Així com l'àlgebra dels nombres utilitzant les operacions aritmètiques per sumar, restar, o comparar nombres, elements lògics matemàtics permeten fer afirmacions complexes, per negar o per calcular el resultat final.

operacions lògiques per a la formalització i la simplicitat expressada per la fórmula, que ens és familiar a l'aritmètica. Propietats de les equacions d'àlgebra de Boole fan possible registrar i calcular el desconegut. Les operacions lògiques es registren generalment per la taula de veritat. Els seus elements defineixen columnes i operació de càlcul que es realitza en ells, i les files mostren el resultat dels càlculs.

lògica bàsica de l'acció

El més comú en les operacions d'àlgebra booleana són negació (NOT), i la lògica AND i OR. Pel que és possible descriure pràcticament tots els passos en els judicis d'àlgebra. Hem estudiat en detall cadascuna de les tres operacions.

La negació (no) s'aplica a només un element (operant). Per tant, l'operació es diu una negació unària. Per gravar el concepte de "no és un" utilitzant aquests símbols: ¬ A, A o A!. En forma de taula que es veu així:

La funció de la negació típica d'aquesta declaració: si A és veritable, llavors A - és falsa. Per exemple, la Lluna gira al voltant de la Terra - la veritat; Terra gira al voltant de la lluna - una mentida.

multiplicació lògic i addició

I lògic operació s'anomena una conjunció. Què vol dir? En primer lloc, que es pot aplicar a dos operands, és a dir, I - .. operació binària. En segon lloc, és només en el cas de la veritat dels dos operands (A i B) és veritable i l'expressió en si. El proverbi, "La paciència i una mica d'esforç" suggereix que tots dos factors només ajuden a una persona a fer front a les dificultats.

símbols s'utilitzen per a la gravació: A∧B, o A⋅B A && B.

Conjunt és similar a la multiplicació en aritmètica. De vegades i dir - la multiplicació lògica. Si es multipliquen els elements de les files de la taula, s'obté un resultat similar al pensament lògic.

Disjunció és una operació OR lògica. És TRUE si almenys una de les afirmacions és vertadera (A o B). S'escriu així: A ∨ B, A + B o A || B. la taula de veritat per aquestes operacions són:

Disjunció addició aritmètica similar. operació de suma lògica té només una restricció: 1 + 1 = 1. Però recordem que en un format digital es limita a la lògica matemàtica 0 i 1 (on 1 - la veritat, 0 - fals). Per exemple, la frase "al museu es pot veure una obra d'art o trobar una bona companyia" significa el que es poden veure obres d'art, i és possible satisfer una persona interessant. Alhora, no es descarta la possibilitat de compliment simultani de tots dos esdeveniments.

Funcions i lleis

Per tant, ja sabem el que la lògica d'operació utilitzant l'àlgebra de Boole. Les funcions es descriuen totes les propietats dels elements de la lògica matemàtica, i ens permeten simplificar les instruccions compostes complexes. La més clara i senzilla sembla la propietat rebuig de les operacions de derivats. Per derivats s'entenen XOR, implicació i equivalència. Com hem llegit només amb les operacions bàsiques, i després la propietat és a considerar-les.

Associativitat vol dir que en les declaracions com ara "A i B, i B 'llista de seqüències dels operands no importa. La fórmula s'escriu així:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A ∨ B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Com es pot veure, això no és exclusiu de la conjunció però una disjunció.

Commutativitat sosté que el resultat de la conjunció o disjunció no depèn de quin element es va considerar des del principi:

A∧B = B∧A; A ∨ B = B∨A.

Distributivity permet revelar parèntesi en les expressions lògiques complexes. Les regles són similars a la parèntesi d'obertura en la multiplicació i addició en àlgebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A ∨ B) ∧ (A∨V).

propietats de la unitat i al ratllat, que pot ser un dels operands són també similars a la multiplicació algebraica per zero o un, i l'addició d'una unitat de:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotencia ens diu que si dos operands relativament iguals el resultat de l'operació és el mateix, pot "llençar" l'excés de operands de raonament compliquen. I les operacions de conjunció i disjunció són idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Adquisició també ens permet simplificar l'equació. Absorció estableix que quan l'expressió s'aplica a un operant, una altra operació amb el mateix element de l'operand resultat es operació absorbent.

A∧B∨B = B; (A ∨ B) ∧B = B.

seqüència d'operacions

La seqüència d'operacions és de gran importància. En realitat, com per l'àlgebra, hi ha una funció de prioritat que utilitza un àlgebra de Boole. Les fórmules poden ser simplificades només estan subjectes a la importància de les operacions. Classificació dels més significatius a insignificant, s'obté la següent seqüència:

1. Negació.

2. conjunció.

3. La disjunció, XOR.

4. La implicació, equivalència.

Com es pot veure, només la negació i conjuncions no tenen la mateixa prioritat. Una prioritat de la disjunció i XOR són iguals, així com les prioritats d'implicació i equivalència.

Funcions d'implicació i equivalència

Com hem dit, a més de les operacions lògiques bàsiques, la lògica matemàtica i la teoria d'algorismes utilitzant derivats. És més sovint la implicació i equivalència.

La implicació o conseqüència lògica - aquesta declaració, en la qual una acció és una condició, i l'altre - el resultat de la seva aplicació. En altres paraules, aquesta proposta amb les preposicions "si ... llavors". "Després del sopar ve l'ajust de comptes." E. Per a la conducció que s'estreny al turó de trineu. Si no hi ha desig de baixar de les muntanyes, i després arrossegar un trineu no cal. Pel que està escrit: A → B o A⇒B.

Equivalència implica que l'efecte net es produeix només quan tots dos operands són veritables. Per exemple, la nit dóna pas al dia, llavors (i només llavors), quan el sol s'aixeca sobre l'horitzó. En el llenguatge de la lògica matemàtica d'aquesta declaració s'escriu com A≡B, A⇔B, a == B.

Altres lleis de l'àlgebra de Boole

el judici es desenvolupa l'àlgebra, i molts científics interessats en la formulació de noves lleis. El més famós es consideren postula matemàtic escocès O. De Morgan. Es va adonar i li va donar una definició de propietats com ara prop de la negació, la suma i la doble negació.

Tancar la negació suggereix que abans del parèntesi es pot negar: no (A o B) = A o B. No NO

Quan es nega l'operand, independentment del seu valor, dir d'addició:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

I, finalment, la pròpia negació doble compensa. és a dir, abans bé la negació del operant desapareix o segueix sent únic.

Com resoldre les proves

La lògica implica equacions de simplificació predeterminat. Igual que en l'àlgebra de Lie, és necessari per facilitar al màxim primera condició (per desfer-se de les operacions d'entrada complicades, i amb elles), a continuació, començar a buscar una resposta correcta.

Què fer per simplificar? Convertir tots els derivats en una operació senzilla. A continuació, descobrir tots els suports (o viceversa, per fer els suports per reduir aquest element). El següent pas ha de ser l'ús de propietats d'àlgebra booleana en la pràctica (propietats d'absorció zero i un, i t.).

Al final, l'equació ha de consistir en un nombre mínim d'incògnites, en combinació amb operacions simples. La forma més fàcil de buscar una solució, si fas un gran nombre d'estretes negatius. Llavors la resposta apareixerà com si per si mateix.