Extrems de la funció - en un llenguatge senzill sobre complex

Per entendre quins són els punts extremals d'una funció, no cal conèixer la presència de la primera i la segona derivats i comprendre el seu significat físic. En primer lloc, heu d'entendre el següent:

• Els extrems de la funció maximitzen o, al contrari, minimitzen el valor de la funció en un barri arbitràriament petit;
• A la part extrema no hauria d'haver discontinuïtat de la funció.

I ara el mateix, només en un llenguatge senzill. Mireu la punta de la barra del bolígraf. Si el mànec està posicionat verticalment, l'escriptura acabarà, llavors la meitat de la pilota serà l'extrem - el punt més alt. En aquest cas parlem d'un màxim. Ara, si gires la ploma amb el final de l'escriptura, ja hi haurà una mínima funció al centre de la pilota. Usant la figura aquí indicada, podeu enviar les manipulacions que figuren a la llista per a un llapis de papereria. Per tant, els extrems d'una funció són sempre punts crítics: els seus màxims o mínims. La secció adjacent del gràfic pot ser arbitràriament nítida o suau, però ha d'existir a banda i banda, només en aquest cas el punt és un extrem. Si el gràfic està present només per un costat, aquest extrem no apareixerà fins i tot si es compleixen les condicions extremes d'un sol costat. Ara estudiarem els extrems de la funció des del punt de vista científic. Perquè un punt es consideri un extrem, és necessari i suficient que:

• La primera derivada va igualar zero o no existia en el punt;
• La primera derivada va canviar el seu signe en aquest punt.

La condició es tracta d'una manera diferent des del punt de vista dels derivats d'ordre superior: per a una funció que es diferenciable en un punt, és suficient que existeixi un derivat d'ordre estrany que no sigui igual a zero, sempre que tots els derivats de l'ordre inferior han d'existir i ser zero. Aquesta és la interpretació més simple dels teoremes dels llibres de text de matemàtiques superiors. Però per a la gent més comuna, val la pena explicar aquest punt per exemple. La base és una paràbola ordinaria. Inicieu immediatament una reserva, en el punt zero, té un mínim. Molt poc matemàtic:

• Primera derivada (X ² ) ^| = 2X, per al punt zero 2X = 0;
• Segona derivada (2X) ^| = 2, per al punt zero z = 2.

D'aquesta manera simple, es mostren les condicions que determinen l'extrema de la funció tant per als derivats de primer ordre com per als derivats d'ordre superior. A això es pot afegir que la segona derivada és precisament la mateixa derivada d'ordre estrany, que no és igual a zero, que es va esmentar anteriorment. Quan es tracta d'extrems d'una funció de dues variables, cal complir les condicions per a tots dos arguments. Quan es produeix la generalización, s'utilitzen derivats privats. És a dir, cal tenir un extrem en un punt, de manera que tots dos derivats de primer ordre són iguals a zero, o almenys un d'ells no existeix. Per la suficiència de la presència d'un extrem, es considera una expressió que és la diferència del producte dels derivats de segon ordre i el quadrat de la derivada mixta de segon ordre de la funció. Si aquesta expressió és superior a zero, llavors es produeix l'extremum i, si hi ha igualtat a zero, la pregunta continua oberta i es necessita més recerca.