Nombres reals i les seves propietats

Pitágoras va afirmar que el nombre es troba a la base del món a l'una amb els elements principals. Plató creia que el nombre unia el fenomen i el noumenó, ajudant a conèixer, mesurar i extreure conclusions. L'aritmètica prové de la paraula "aritmos": el nombre, el començament va començar en matemàtiques. Nim pot descriure qualsevol objecte: des d'una poma elemental fins a espais abstractes.

Necessita com a factor de desenvolupament

En les etapes inicials de la formació de la societat, les necessitats de les persones es limitaven a la necessitat de mantenir puntuació: una bossa de gra, dues bosses de gra, etc. Per fer-ho, n'hi havia prou amb tenir nombres naturals, el conjunt de la qual és una infinita seqüència positiva d'enters N.

Posteriorment, amb el desenvolupament de les matemàtiques com a ciència, es va plantejar la necessitat d'un camp separat dels enters Z: inclou quantitats negatives i zero. La seva aparició a nivell domèstic va ser provocada pel fet que en el departament de comptes primaris era necessari arreglar d'alguna manera els deutes i les pèrdues. A nivell científic, els nombres negatius van permetre resoldre les equacions lineals més simples . Entre altres coses, ara es va fer possible mostrar un sistema de coordenades trivials, perquè apareix un punt de referència.

El següent pas va ser la necessitat d'introduir nombres fraccionaris, ja que la ciència no es va mantenir quiet, cada vegada més descobriments nous requerien una base teòrica per a un nou impuls de creixement. Així que va aparèixer el camp dels nombres racionals Q.

Finalment, la racionalitat va deixar de satisfer les peticions, ja que totes les noves conclusions requerien justificació. Un camp de nombres reals R va aparèixer, els treballs d'Euclides sobre la inconmensurabilitat de certes quantitats a causa de la seva irracionalitat. És a dir, els matemàtics grecs antics posicionen el nombre no només com un valor constant, sinó també un valor abstracte, que es caracteritza per la proporció de quantitats incommensurables. A causa del fet que han aparegut nombres reals, "valors" com "pi" i "e" han "vist la llum", sense els quals no podrien haver-se produït les matemàtiques modernes.

La innovació final va ser el nombre complex C. Va respondre a una sèrie de preguntes i va desmentir els postulats prèviament introduïts. A causa del ràpid desenvolupament de l'àlgebra, el resultat era predictible: tenir nombres reals, la solució de molts problemes era impossible. Per exemple, a causa de nombres complexos, les teories de la corda i del caos s'han destacat, les equacions de la hidrodinàmica s'han ampliat.

La teoria dels conjunts. Cantor

El concepte de l'infinit en tot moment ha estat controvertit, ja que no es pot provar ni desmentir. En el context de les matemàtiques, que funcionava amb postulats estrictament verificats, això es manifestava amb més claredat, especialment perquè l'aspecte teològic encara tenia un pes en la ciència.

No obstant això, gràcies al treball del matemàtic Georg Cantor, tot va caure al lloc amb el pas del temps. Va demostrar que els conjunts infinits existeixen un conjunt infinit, i que el camp R és més gran que el camp N, que els dos no tenen fi. A mitjans del segle XIX, les seves idees eren cridades de deliri i delicte contra els cànons clàssics i inamovibles, però el temps va posar tot al seu lloc.

Les propietats bàsiques del camp R

Els nombres reals no només tenen les mateixes propietats que les sub-missions, que s'inclouen en elles, sinó que també són complementades per altres a causa del pes dels seus elements:

• Zero existeix i pertany al camp R. c + 0 = c per a qualsevol c en R.
• Existeix un zero i pertany al camp R. c x 0 = 0 per a qualsevol c en R.
• La relació c: d per a d ≠ 0 existeix i és real per a qualsevol c, d en R.
• El camp R està ordenat, és a dir, si c ≤ d, d ≤ c, llavors c = d per a qualsevol c, d en R.
• L'addició al camp R és commutativa, és a dir, c + d = d + c per a qualsevol c, d en R.
• La multiplicació en el camp R és commutativa, és a dir, cx d = dx c per qualsevol c, d en R.
• L'addició al camp R és associativa, és a dir, (c + d) + f = c + (d + f) per a qualsevol c, d, f en R.
• La multiplicació en el camp R és associativa, és a dir (c x d) x f = c x (d x f) per a qualsevol c, d, f en R.
• Per a cada número del camp R hi ha un oposat, tal que c + (-c) = 0, on c, -c de R.
• Per a cada número del camp R, hi ha una inversa tal que c x c ^-1 = 1, on c, c ^-1 de R.
• Existeix una unitat i pertany a R, de manera que c x 1 = c, per a qualsevol c en R.
• Es conserva la llei de distribució, de manera que c x (d + f) = c x d + c x f, per a qualsevol c, d, f en R.
• Al camp R, zero no és igual a un.
• El camp R és transitiu: si c ≤ d, d ≤ f, llavors c ≤ f per a qualsevol c, d, f en R.
• En el camp R, l'ordre i l'addició estan relacionats entre si: si c ≤ d, llavors c + f ≤ d + f per a qualsevol c, d, f en R.
• Al camp R, l'ordre i la multiplicació estan interrelacionades: si 0 ≤ c, 0 ≤ d, llavors 0 ≤ c x d per a qualsevol c, d de R.
• Tant els nombres reals negatius com els positius són continus, és a dir, per a qualsevol c, d en R hi ha un f de R tal que c ≤ f ≤ d.

El mòdul al camp R

Els números reals inclouen un mòdul. Es denota com | f | Per a qualsevol f en R. | f | = F, si 0 ≤ f i | f | = -f si 0> f. Si tenim en compte el mòdul com a valor geomètric, representa la distància recorreguda, no importa si "passés" per zero a la part inferior o cap endavant al plus.

Nombres complexos i reals. Què és comú i quines són les diferències?

En general, els nombres complexos i reals són un i el mateix, excepte que la unitat imaginària i, el quadrat és -1, es va unir al primer. Els elements dels camps R i C es poden representar com la fórmula següent:

• C = d + f x i, on d, f pertany al camp R, i jo és la unitat imaginària.

Per obtenir c de R en aquest cas, f es considera simplement igual a zero, és a dir, només queda la part real del nombre. Com que el camp dels nombres complexos té el mateix conjunt de propietats que el camp dels nombres reals, f x i = 0, si f = 0.

Pel que fa a les diferències pràctiques, per exemple, en el camp R, l' equació quadràtica no es resol si el discriminant és negatiu, mentre que el camp C no imposa tal restricció a causa de la introducció de la unitat imaginària i.

Resultats

Els "maons" dels axiomes i postulats sobre els quals es basa la matemàtica no canvien. Alguns d'ells, en relació amb l'augment d'informació i la introducció de noves teories, posen els següents "maons", que en el futur poden convertir-se en la base del següent pas. Per exemple, els nombres naturals, tot i ser un subconjunt del camp real R, no perden la seva rellevància. És sobre ells que es basa tota aritmètica elemental, amb la qual comença la cognició de l'home del món.

Des del punt de vista pràctic, els números reals es veuen com una línia recta. En ell podeu triar la direcció, indicar l'origen i el pas. La línia consisteix en un nombre infinit de punts, cadascun dels quals correspon a un únic nombre real, ja sigui racional o no. A partir de la descripció, és clar que estem parlant d'un concepte sobre el qual construir tant les matemàtiques en general com l'anàlisi matemàtica en particular.