Transformada wavelet: determinar exemple d'aplicació

L'adveniment de les càmeres digitals de baix cost ha fet que gran part dels habitants del planeta, independentment de l'edat i el sexe, ha adquirit l'hàbit de capturar a cada pas i posar les seves imatges en exposició pública a les xarxes socials. D'altra banda, si el fitxer de fotos de la família anterior es va col·locar en el mateix àlbum, avui es compon de centenars d'imatges. Per tal de facilitar l'emmagatzematge i la transmissió a través de xarxes requereixen una imatge digital de reducció de pes. Amb aquesta finalitat, s'utilitzen mètodes que es basen en diversos algoritmes, incloent una transformada wavelet. Què és, dir-li al nostre article.

Què és una imatge digital

La informació visual a l'ordinador està representat en forma de nombres. En termes simples, una foto feta amb un dispositiu digital, és una taula en la qual s'introdueixen les cèl·lules dels valors de cadascun dels seus píxels de color. Quan es tracta d'una imatge monocroma, llavors se substitueixen pels valors de luminància de l'interval [0, 1], on 0 s'utilitza per referir-se a negre, i 1 - blanc. Altres colors es donen els nombres fraccionaris, però amb compliquen les maniobres, de manera que la gamma s'amplia i el valor seleccionat l'interval entre 0 i 255. Per què és això? És molt senzill! Amb aquesta elecció en la representació binària per a la codificació de la luminància de cada píxel requereix exactament un byte. És evident que es requereix una gran quantitat de memòria per emmagatzemar fins i tot una petita imatge. Per exemple, la mida de la imatge de 256 x 256 píxels pren 8 Kbytes.

Unes paraules sobre els mètodes de compressió d'imatges

Segurament tothom ha estat testimoni de la mala qualitat de les imatges en què hi ha distorsions en la forma de rectangles del mateix color, que són anomenats artefactes. Sorgeixen com a resultat de l'anomenada compressió amb pèrdua. Es pot reduir significativament el pes de la imatge, però, que tindrà un impacte inevitable de la seva qualitat.

Per pèrdua algoritmes de compressió inclouen:

• JPEG. Això és, de bon tros, un dels algoritmes més populars. Es basa en l'ús de la transformada de cosinus discreta. Per ser justos cal assenyalar que hi ha opcions per a la compressió sense pèrdua JPEG rendiment. Aquests inclouen Lossless JPEG i JPEG-LS.
• JPEG 2000. L'algorisme s'utilitza en plataformes mòbils, i en base a l'aplicació d'una transformada wavelet discreta.
• la compressió fractal. En alguns casos, se li permet obtenir imatges de gran qualitat, fins i tot amb la compressió forta. No obstant això, a causa de problemes de patents d'aquest mètode segueix sent exòtic.

Els algoritmes de compressió sense pèrdues realitzades per:

• RLE (utilitzat com a mètode principal en el format TIFF, BMP, TGA).
• LZW (utilitzat en format GIF).
• LZ-Huffman (utilitzat per al format PNG).

transformada de Fourier

Abans de passar a la wavelet, té sentit per explorar les funcions relacionades, que descriu els coeficients de l'expansió de la informació inicial en components elementals, les vibracions E. harmòniques és a dir. Amb diferents freqüències. En altres paraules, la transformada de Fourier - una eina única que connecta mons discretes i contínues.

Es veu així:

La fórmula d'inversió s'escriu així:

Què és un tren d'ones

Darrere d'aquest nom s'amaga una funció matemàtica, que permet analitzar els diferents components de freqüència de les dades de prova. La seva gràfica és una ondulació l'amplitud disminueix a 0 lluny de l'origen. En interès general són els coeficients de tren d'ones van determinar senyal integral.

espectrogrames Wavelet són diferents dels espectres de Fourier convencional, ja que diverses característiques associades senyals d'espectre amb el seu component temporal.

transformació wavelet

Aquest mètode de conversió de senyal (funcions) permet que es tradueix a partir d'un temps en la representació temps-freqüència.

Per wavelet transformació va ser possible, per a la funció wavelet corresponent, les següents condicions s'han de complir:

• Si per alguna funció ψ (t) transformar -Fourier té la forma

aquesta condició ha de ser satisfeta:

A més:

• Wavelet ha de tenir una energia finita;
• ha de ser integrable contínues i tenen suport compacte;
• wavelet ha de ser localitzada tant en freqüència com en el temps (espai).

tipus

Una transformada wavelet contínua s'utilitza per als senyals respectives. Molt més interessant és el seu anàleg discret. Després de tot, pot ser utilitzat per al processament de la informació en els ordinadors. No obstant això, sorgeix un problema en què la fórmula per un tauler de fibres discret no pot obtenir-se per simple DNP fórmules de discretització apropiada.

La solució a aquest problema va ser trobat per Daubechies, que va ser capaç de triar un mètode per construir una sèrie d'ones ortogonals, cada un dels quals es defineix per un nombre finit de coeficients. Més tard es van crear algoritmes ràpids, com ara l'algoritme de Malla. En la seva aplicació a descompondre o per restaurar l'ordre requerit per a realitzar operacions cN, on N - longitud de la mostra, i amb - el nombre de coeficients.

Vayvlet Haar

Per comprimir una imatge, cal trobar una certa regularitat entre els seus dades, i encara millor si va a ser llargues cadenes de zeros. Aquí és on pot ser útil per a la transformada wavelet algoritme. No obstant això, seguim revisant els mètodes de treball en ordre.

En primer lloc, cal recordar que les imatges la brillantor dels píxels adjacents es caracteritza generalment per una petita quantitat. Fins i tot si hi ha imatges en els llocs reals amb afilada, contrastant les diferències de brillantor, que ocupen només una petita part de la imatge. A tall d'exemple, fer-se càrrec de la prova coneguda Lenna imatge en escala de grisos. Si prenem una matriu de luminància dels píxels, llavors la part de la primera línia apareixerà com una seqüència de nombres 154, 155, 156, 157, 157, 157, 158, 156.

es pot aplicar l'anomenat mètode delta per obtenir zeros a la mateixa. Per a això, mantenir només el primer número, i per als altres prendre només les diferències de cada un de l'anterior amb el signe "+" o "-".

El resultat és una seqüència 154,1,1,1,0,0,1, -2.

Un desavantatge de delta-codificació és la seva no-localitat. En altres paraules, és impossible prendre només una porció de la seqüència i esbrinar què brillantor està codificat, descodificat, si no tots els valors al davant d'ell.

Per superar aquest desavantatge, el nombre es divideix en parells i cada un són la meitat de la suma de (v. A) i la meitat de la diferència (v. D), m. F. Per (154,155) (156,157) (157,157) (158,156) tenen (154.5, 0,5) (156.5,0.5) (157,0.0), (157, -1,0). En aquest cas, sempre és possible trobar el valor dels dos nombres en un parell.

En general, la transformada wavelet discreta del senyal S, tenim:

Aquest mètode segueix des del cas discret de transformada wavelet contínua, Haar i àmpliament utilitzat en diversos camps de processament de dades i de compressió.

compressió

Com ja s'ha esmentat, una de les aplicacions de la transformada de wavelet algoritme és el mètode de compressió JPEG 2000 utilitzant Haar basat en el vector de traducció de dos píxels a la X i el vector I (X + I) / 2 i (X - I) / 2. És suficient per multiplicar el vector inicial en la matriu a continuació.

Si els punts més, prenen més de la matriu, que estan disposades en una matriu H. diagonal Per tant, el vector inicial, independentment de la seva longitud es processa en parells.

filtres

El resultat de "mitjà-sum" - és els valors mitjans de luminància dels píxels en parells. Aquest és el valor quan es converteix en la imatge ha de donar-li una còpia, reduïda en 2 vegades. En aquest mitjà de suma mitjana de brillantor, t. I. "filtrat" ràfegues aleatòries dels seus valors i actuen com a filtres de freqüència.

Ara anem a tractar amb aquells que mostren la diferència. Estan "aïllat" interpixel "ràfegues", l'eliminació de la component constant, és a dir. E. "filtrat" valors de a baixes freqüències.

Fins i tot de l'anterior transformada wavelet Haar per als "maniquís" es fa evident que es tracta d'un parell de filtres que divideixen un senyal en dos components: l'alta freqüència i baixa freqüència. simplement tornar a unir aquests elements per obtenir el senyal original.

exemple

Suposem que volem comprimir la fotografia (imatge de prova Lenna). Penseu l'exemple de la transformada wavelet la matriu de brillantor dels píxels. El component d'alta freqüència de la imatge s'encarrega de mostrar els detalls fins i descriu el soroll. Pel que fa a la baixa freqüència, que conté informació sobre la forma de la cara i gradients suaus de brillantor.

Característiques fotos de la percepció humana és tal que aquest últim és el component més important. Això vol dir que quan es comprimeix una certa part de les dades d'alta freqüència pot ser rebutjada. Tant més com que té menys valor i es codifica de forma més compacta.

Per augmentar el grau de compressió es pot aplicar diverses vegades la transformació d'Haar a un conjunt de dades de baixa freqüència.

L'ús de matrius bidimensionals

Com ja s'ha esmentat, la imatge digital a l'ordinador estan en forma d'una matriu de valors d'intensitats dels píxels. Per tant, hem d'estar interessat en una Haar bidimensional transformada wavelet. Per implementar cal simplement per dur a terme la seva conversió dimensional per a cada fila i cada columna de la matriu de les intensitats de píxels en la imatge.

Els valors propers a zero, poden ser rebutjats sense dany significatiu a la imatge descodificada. Aquest procés es coneix com quantització. I a hores d'ara de la informació es perd. Per cert, el nombre de factors anul·lables pot canviar, ajustant d'aquesta manera el grau de compressió.

Tots aquests passos resulten en què s'obté la matriu que conté grans quantitats de 0. Ha de línia escrita per línia en un arxiu de text i comprimir qualsevol arxivador.

descodificació

La transformació inversa de la imatge en el següent algoritme:

• Es descomprimeix un arxiu;
• s'aplica la transformada inversa de Haar;
• La imatge descodificada es converteix en una matriu.

Avantatges en comparació amb JPEG

было сказано, что он основан на ДКП. Quan es considera l'algoritme de Joint Photographic Experts Group li van dir que es basa en DCT. Aquesta conversió es porta a terme en blocs de (8 x 8 píxels). Com a resultat, si una forta compressió en la imatge reduïda es converteix en una estructura de bloc apreciable. Durant la compressió usant wavelets tal problema està absent. No obstant això, el soroll pot aparèixer diferent tipus que tenen l'aparença d'ones al voltant de les vores. Es creu que els artefactes similars, de mitjana, menys perceptible que "quadrats" que es creen quan s'utilitza l'algoritme JPEG.

Ara que ja sap el que wavelets són el que són i el pràctic ús per a ells va ser trobat en el camp del processament i compressió d'imatges digitals.