La hipòtesi de Riemann. La distribució dels nombres primers

El 1900, un dels més grans científics del segle passat, David Hilbert va fer una llista que consisteix en 23 problemes no resolts de la matemàtica. Treballar en ells ha tingut un enorme impacte en el desenvolupament d'aquest camp del coneixement humà. Després de 100 anys a l'Institut de Matemàtiques de l'argila es presenta una llista de set problemes, coneguts com els Objectius del Mil·lenni. Per a la decisió de cada un d'ells se li va oferir el premi de $ 1 milió.

L'únic problema, que va ser una de les dues llistes de trencaclosques, durant segles no van donar descans als científics, es va fer la hipòtesi de Riemann. Ella encara està esperant la seva decisió.

Una breu informació biogràfica

Georg Friedrich Bernhard Riemann va néixer el 1826 a Hannover, en una gran família d'un pastor pobre, i va viure només 39 anys d'edat. Ho va fer per publicar 10 articles. No obstant això, durant la vida de Riemann va considerar un successor del seu mestre Johann Gauss. Als 25 anys jove científic va defensar la seva tesi "Fonaments de la teoria de funcions d'una variable complexa." Més tard es va formular la seva hipòtesi, que es va fer famós.

nombres primers

Matemàtiques es va produir quan l'home va aprendre a comptar. Llavors va sorgir la primera idea dels números, que més tard van tractar de classificar. S'ha observat que alguns d'ells tenen propietats comunes. En particular, entre els nombres naturals m. E. aquelles que s'utilitzen en el càlcul (numeració) o el nombre designat d'articles s'ha assignat un grup d'aquest tipus que es divideix per un sol i ells mateixos. Ells van ser cridats senzilla. Un elegant prova del teorema del conjunt infinit de nombres donats per Euclides en els seus "Elements". De moment, estem continuant la seva recerca. En particular, la major d'una sèrie de coneguts ^{2 74207281} - 1.

la fórmula d'Euler

Juntament amb la noció d'infinits nombres primers Euclides defineix i el segon teorema de factorització l'única possible. D'acord amb ella qualsevol enter positiu és el producte d'un sol conjunt de nombres primers. En 1737, el gran matemàtic alemany Leonhard Euler va expressar primer del teorema d'Euclides en l'infinit de la fórmula mostrada a continuació.

Es diu la funció zeta, on s - una constant i p és tot valors simples. De seguit directament i aprovació de la singularitat de l'expansió d'Euclides.

funció zeta de Riemann

la fórmula d'Euler en una inspecció més propera és bastant notable, com es dóna per la relació entre la simple i nombres enters. Després de tot, en el seu costat esquerre es multipliquen infinitament moltes expressions que depenen només de simple, i en la quantitat adequada s'associa amb tots els nombres enters positius.

Riemann va continuar Euler. Per tal de trobar la clau per al problema de la distribució dels nombres, es proposa definir la fórmula tant per a la variable real i complexa. Ella va ser la que més tard es va conèixer com la funció zeta de Riemann. El 1859 el científic va publicar un article titulat "Sobre el nombre de cosins que no excedeixi d'un valor per defecte", que resumeix totes les seves idees.

Riemann va proposar l'ús d'un nombre d'Euler, convergent per a tots els s reals> 1. Si s'utilitza la mateixa fórmula per s complexos, llavors la sèrie convergirà per a qualsevol valor de la variable amb la part real és més gran que 1. Riemann va utilitzar la continuació analítica del procediment mitjançant l'ampliació de la definició de zeta (s) per a tots els nombres complexos, però "llençar" unitat. No va ser possible, ja que si s = 1 funció zeta augmenta fins a l'infinit.

sentit pràctic

Sorgeix la pregunta: ¿quina és la funció zeta interessant i important, que és crucial en l'obra de Riemann en la hipòtesi nul·la? Com se sap, de moment no es troba un patró simple que descriu la distribució dels nombres primers entre el natural. Riemann capaç de detectar que el nombre de pi (x) dels nombres primers, que no són superiors a x, s'expressa per la distribució de la funció zero zeta no trivial. D'altra banda, la hipòtesi de Riemann és una condició necessària per provar les avaluacions temporals de certs algoritmes criptogràfics.

La hipòtesi de Riemann

Una de les primeres formulacions d'aquest problema matemàtic, no s'ha demostrat fins ara, és a dir: trivial, la funció zeta 0 - nombres complexos amb part real igual a ½. En altres paraules, que estan disposats en una línia recta Re s = ½.

També hi ha una hipòtesi generalitzada de Riemann, que és la mateixa declaració, però per a la generalització de les funcions zeta, que es diuen el Dirichlet (veure. Foto baix) L-funcions.

A la fórmula χ (n) - un caràcter numèric (k mod).

La declaració de Riemann és l'anomenada hipòtesi nul·la, com s'ha verificat la coherència amb les dades de les mostres existents.

Com vaig argumentar Riemann

Nota matemàtic alemany va ser formulat originalment de manera casual. El fet és que en aquest moment el científic anava a provar un teorema sobre la distribució dels nombres primers, i en aquest context, aquesta hipòtesi no té gaire efecte. No obstant això, el seu paper en el tractament dels molts problemes és enorme. És per això que la hipòtesi de Riemann per ara molts científics reconeixen la importància dels problemes matemàtics no provades.

Com s'ha dit, per demostrar el teorema sobre la distribució de la hipòtesi completa de Riemann no és necessari, i com és lògic provar que la part real de qualsevol no trivial zero de la funció zeta està entre 0 i 1. Aquesta propietat implica que la suma de tots 0-m funció zeta que apareixen en la fórmula exacta anteriorment, - finit constant. Per a valors grans de x, tot pot perdre. L'únic membre de la fórmula, que romandrà sense canvis, fins i tot a molt altes x, x és ell mateix. La resta dels termes complexos en comparació amb ella asimptòticament desaparèixer. Per tant, la suma ponderada tendeix a x. Aquest fet pot considerar-se com a prova de la veritat del teorema del nombre primer. D'aquesta manera, els zeros de la funció zeta de Riemann apareix un paper especial. És per demostrar que aquests valors no poden contribuir significativament a la fórmula d'expansió.

seguidors de Riemann

La mort tràgica de tuberculosi va impedir el científic portar fins al final lògic del programa. No obstant això, va prendre el bastó de comandament de la W-F. de la Vallée Poussin i Zhak Adamar. Independentment uns d'uns altres que havien retirat teorema del nombre primer. Hadamard i Poussin van aconseguir demostrar que tota la funció zeta 0 no trivial es troba dins de la banda crítica.

Gràcies al treball d'aquests científics, una nova branca de les matemàtiques - la teoria analítica dels nombres. Més tard, altres investigadors han rebut una prova poc més primitiu del teorema estava treballant a Roma. En particular, Pal Erdös i Atle Selberg han obert fins i tot confirmant la seva cadena de gran complexitat de la lògica, no requereix l'ús d'anàlisi complex. No obstant això, en aquest punt la idea de Riemann per diversos teoremes importants han estat provats, incloent l'aproximació de les moltes funcions de la teoria de nombres. En relació amb aquest nou treball Erdös i Atle Selberg pràcticament qualsevol cosa no es veu afectat.

Una de les proves més simple i més bella del problema ha estat trobat el 1980 per Donald Newman. Es basa en el conegut teorema de Cauchy.

Amenaçat si la hipòtesi de Riemann és la base de la criptografia moderna

El xifrat de dades sorgir amb l'aparició de caràcters, o més aviat, ells mateixos pot ser considerat com el primer codi. De moment, hi ha una nova tendència sencera de la criptografia digital, que es dedica al desenvolupament d'algoritmes de xifrat.

Simple i "semisimples" nombre m. E. Aquells que només es divideix en altres dos números de la mateixa classe, són la base d'un sistema de clau pública, conegut com RSA. Té una àmplia aplicació. En particular, s'utilitza en la generació d'una signatura electrònica. Si parlem en termes de la "tetera" disponibles, la hipòtesi de Riemann afirma l'existència del sistema en la distribució dels nombres primers. Per tant, va reduir significativament la resistència de claus criptogràfiques, de la qual depèn la seguretat de les transaccions en línia en el comerç electrònic.

Altres problemes matemàtics no resolts

Article complet val la pena dedicar unes paraules a altres tasques del mil·lenni. Aquests inclouen:

• La igualtat de classes P i NP. El problema es formula com segueix: si una resposta positiva a una pregunta donada es verifica en temps polinòmic, llavors és cert que ell mateix la resposta a aquesta pregunta es pot trobar de forma ràpida?
• conjectura de Hodge. En termes simples, es pot afirmar així: per a alguns tipus de col·lectors algebraiques projectives (espais) cicles d'Hodge són combinacions d'objectes que tenen una interpretació geomètrica, els cicles algebraics és a dir, ...
• conjectura de Poincaré. És l'únic demostrat en els problemes del mil·lenni moment. D'acord amb ella qualsevol objecte tridimensional que té propietats específiques de l'esfera 3-dimensional, l'esfera ha de ser precisa a la deformació.
• Aprovació de la quantia de Yang - Mills teoria. Hem de provar que la teoria quàntica, presentada per aquests científics a l'espai ^R4, hi ha un defecte 0-massa per a qualsevol senzilla calibratge d'un grup compacte G.
• La hipòtesi del bedoll - Swinnerton-Dyer. Aquest és un altre problema que és rellevant a la criptografia. Es refereix a les corbes el·líptiques.
• El problema de l'existència i la suavitat de les solucions de les equacions de Navier - Stokes.

Ara vostè sap la hipòtesi de Riemann. En termes simples, hem formulat i alguns dels altres objectius del mil·lenni. El fet que van a ser resolts o està provat que no tenen solució - és una qüestió de temps. I això és poc probable que hagi d'esperar massa temps, ja que les matemàtiques s'utilitzen cada vegada més potència de càlcul dels ordinadors. No obstant això, no tot està subjecte a la tècnica i per resoldre problemes científics requereix principalment la intuïció i la creativitat.