The Russell Paradox: fons, exemples, redacció

Russell paradoxa és dues antinòmia lògica interdependents.

Dues formes de la paradoxa de Russell

La forma més freqüentment discutit d'una contradicció en conjunts lògics. Part de la sèrie sembla que els propis membres, i altres - no. El conjunt de tots els conjunts és en si mateixa un conjunt, de manera que sembla que es refereix a si mateix. Null o buit, però, no ha de ser un membre de si mateixa. Per tant, el conjunt de tots els conjunts, com zero no s'inclou en si mateix. La paradoxa sorgeix quan la qüestió de si el conjunt d'un membre de si mateix. Això és possible si i només si no ho és.

Una altra forma paradoxa és una contradicció pel que fa a propietats. Algunes propietats, sembla referir-se a si mateixos, mentre que altres no ho són. La propietat que és la propietat en si és una propietat, mentre que la propietat sigui un gat no és. Penseu en la propietat de tenir una propietat que no li pertany a ell. si s'aplica a si mateix? Un cop més, qualsevol dels supòsits hauria de ser el contrari. La paradoxa va ser nomenat en honor de Bertrand Russell (1872-1970), que el va descobrir el 1901.

història

Obertura Russell va ocórrer durant el seu treball a "principis de les matemàtiques". Tot i que va descobrir la paradoxa de forma independent, no hi ha evidència que altres matemàtics i promotors de la teoria de conjunts, incloent Ernst Zermelo i David Hilbert, estaven al corrent de la primera versió de contradiccions abans que ell. Russell, però, va ser el primer que analitza en detall la paradoxa en les seves obres publicades, primer va tractar de formular solucions i els primers a apreciar plenament el seu significat. Tot un capítol de "Principis" es va dedicar a la discussió d'aquest tema, i l'aplicació es va dedicar a la teoria dels tipus, que Russell proposa com una solució.

Russell va descobrir la "paradoxa del mentider ', tenint en compte la teoria de conjunts de Cantor que diu que el poder de qualsevol conjunt és menor que el conjunt dels seus subconjunts. Almenys en el domini ha de ser com molts subconjunts, ja que hi ha elements en el mateix, si un subconjunt de cada element s'estableix que només conté aquest element. A més, Cantor va demostrar que el nombre d'elements no pot ser igual al nombre de subconjunts. Si fos el mateix número, hauria d'existir ƒ funció de mostrar els elements en els seus subconjunts. Alhora, es pot demostrar que això és impossible. Alguns articles poden ser visualitzats en subconjunts de la funció ƒ que els contenen, mentre que altres no.

Penseu el subconjunt d'elements que no pertanyen a les seves imatges, en què es mostren ƒ. És en si mateix un subconjunt d'elements, i per tant, ƒ funció seria mostrar-lo en un element en el domini. El problema és que llavors sorgeix la pregunta de si aquest element pertany al subconjunt al que es mostra ƒ. Això només és possible si no pertany. la paradoxa de Russell pot ser vist com un exemple de la mateixa línia de raonament, només es simplifica. El que és més - els conjunts o subconjunts del conjunt? Semblaria que no ha d'haver més conjunts, com tots els subconjunts dels propis conjunts. Però si el teorema de Cantor és cert, llavors no hauria d'haver més subconjunts. Russell considerava simplement visualitzar conjunts sobre si mateixos i aplicar l'enfocament kantoriansky tenint en compte el conjunt de tots aquests elements, fora d'un conjunt en què es mostren. Ara es mostren Russell es converteix en el conjunt de tots els conjunts, un no.

error de Frege

"La paradoxa del mentider" va tenir un profund impacte en el desenvolupament històric de la teoria de conjunts. Va mostrar que el concepte del conjunt universal és molt problemàtic. També va qüestionar la idea que per a cada condició o predicat definit pot suposar l'existència d'una pluralitat de només aquelles coses que satisfan aquesta condició. paradoxa de l'opció relativa a les propietats - una extensió natural dels conjunts de versions - plantejava seriosos dubtes quant a si és possible argumentar sobre l'existència objectiva d'una propietat o una conformitat universal a cadascun determinat per la condició, o predicat.

Aviat es van trobar les contradiccions i problemes a la feina dels lògics, filòsofs i matemàtics que han fet suposicions similars. El 1902, Russell va trobar que una variant de la paradoxa es pot expressar en un sistema lògic, desenvolupat en el Volum I de "Fonaments de l'aritmètica" de Gottlob Frege, un dels principals treballs sobre la lògica de finals del XIX - principis del segle XX. En la filosofia de Frege molts entendre com una "extensió" o el concepte de "valor-range". Els conceptes són els més propers als dels correlats. S'espera que existir per qualsevol condició o predicat donat. Per tant, hi ha un concepte de conjunt, que no cau sota el seu concepte de la definició. També hi ha una classe definida per aquest concepte, i que està subjecta a la definició del seu concepte només si no ho és.

Russell va escriure a Frege sobre aquest conflicte, al juny de 1902. La correspondència era un dels més emocionant i comentat en la història de la lògica. Frege reconeix immediatament les conseqüències desastroses de la paradoxa. Va assenyalar, però, que la versió de la controvèrsia pel que fa a les propietats de la seva filosofia es va resoldre mitjançant la distinció entre els conceptes de nivells.

noció de Frege s'entén com la transició dels arguments de la funció a TRUE. Els conceptes de primer nivell prenent com a arguments els objectes de la segona conceptes de nivell prenen com a arguments per a aquestes funcions, i així successivament. Per tant, el concepte mai es pot prendre com un argument, i la paradoxa en termes de les propietats no poden ser formulades. No obstant això sets, expansió o conceptes Frege entendre com referint-se al mateix tipus lògic que la de tots els altres objectes. A continuació, per a cada conjunt hi ha una pregunta si cau sota el concepte de definir-lo.

Quan Frege, Russell va rebre la primera carta, el segon volum de "Fonaments de l'aritmètica" ja està acabat impressió. Es va veure obligat a preparar ràpidament una aplicació que dóna una resposta a la paradoxa de Russell. Exemples Frege contenien una sèrie de possibles solucions. Però va arribar a la conclusió d'afeblir el concepte de joc de l'abstracció en un sistema lògic.

En l'original, va ser possible concloure que l'objecte pertany al conjunt si i només si cau dins el concepte, el defineix. El sistema revisat només pot concloure que l'objecte pertany al conjunt si i només si es troba dins de la noció que defineix una pluralitat, però no estableix que es tracti. sorgeix la paradoxa de Russell.

La solució, però, no és del tot satisfet amb Frege. I aquesta va ser la raó. Diversos anys més tard, la forma més complexa de la contradicció s'ha trobat per al sistema revisat. Però fins i tot abans que això succeís, Frege va abandonar les seves decisions i semblen arribar a la conclusió que el seu enfocament era simplement inviable, i que la lògica haurà de prescindir de qualsevol dels conjunts.

Tot i així s'han proposat altres solucions alternatives relativament més reeixides. Aquests es discuteixen a continuació.

La teoria dels tipus

Es va assenyalar anteriorment que Frege era una resposta adequada a les paradoxes de la teoria de conjunts en la versió formulats per propietats. La resposta de Frege va ser precedida per la solució més freqüentment discutit a aquesta forma de paradoxa. Es basa en el fet que les propietats estan subjectes a diferents tipus i quin tipus de propietat mai és el mateix que els elements a què es refereix.

Per tant, ni tan sols es planteja la qüestió de si la propietat s'aplica a si mateix. llenguatge lògic, que separa els elements d'una jerarquia tal, utilitzant la teoria dels tipus. Tot i que ja s'utilitza per Frege, la primera vegada que està completament explicat i justificat Russell en l'annex al "principi". La teoria dels tipus era més completa que la distinció dels nivells de Frege. Ella va compartir propietats no són només diferents tipus de lògica, sinó també establir. escriviu la teoria per a resoldre la contradicció en la paradoxa de Russell segueix.

Per tal de ser un filosòficament adequada, l'adopció de la teoria dels tipus de propietats requereix el desenvolupament de la teoria de la naturalesa de les propietats de manera que podria explicar per què no es poden aplicar a si mateixos. A primera vista, té sentit predicar la seva propietat. La propietat de ser la pròpia identitat, pel que sembla, és també una identitat pròpia. La propietat sembla ser un bon agradable. De la mateixa manera, pel que es veu, sembla fals dir que la propietat de ser un gat és un gat.

No obstant això, diversos pensadors van justificar la divisió de diferents tipus. Russell fins i tot va donar explicacions diferents en diferents moments de la seva carrera. Per la seva banda, la raó de la separació dels diferents conceptes dels nivells de Frege prové de la seva teoria dels conceptes insaturats. Conceptes com a funció, en essència, són incomplets. Per proporcionar un valor, que necessiten un argument. No només un concepte pot predicar el concepte del mateix tipus, ja que encara requereix el seu argument. Per exemple, encara que és possible prendre l'arrel quadrada de l'arrel quadrada d'un nombre, pot no només ha d'utilitzar una funció d'arrel quadrada de la funció arrel quadrada i obtenir un resultat.

Sobre les propietats conservadorisme

Una altra solució possible és la propietats paradoxa propietats negació existència sota cap condicions donades, o un predicat ben formada. Per descomptat, si algú evita propietats metafísiques de tots dos elements objectius i independents en el seu conjunt, si prenem paradoxa nominalisme es poden evitar per complet.

No obstant això, per resoldre l'antinòmia no ha de ser tan extrema. Els sistemes d'ordre superior lògics desenvolupats Frege i Russell, contenen el que s'anomena un principi conceptual, segons el qual cada fórmules obertes independentment del complexa que existeix com a part d'una propietat o concepte, per exemple, només aquells elements que responen a la fórmula. S'apliquen als atributs de cada possible conjunt de condicions o predicats, independentment de la complexitat que eren.

No obstant això, va ser possible prendre un més rigorosos propietats metafísica, que dóna dret a l'existència objectiva de propietats simples, incloent, per exemple, com el color vermell, la fermesa, la bondat i així successivament. D. Vostè pot fins i tot deixar que aquestes propietats s'apliquen a si mateixos, com ara la bondat pot ser amable.

I el mateix estat per als atributs complexos es pot negar, per exemple, com "propietats" com tenir disset-caps, ser-escrits sota-aigua i similars. D. En aquest cas, no condició per defecte no compleix amb la propietat, entesa com per separat element, que té les seves pròpies propietats existents. Així es pot negar l'existència de propietats simples ser-propietat-que-no-aplicada-a-un mateix i evitar paradoxa mitjançant l'aplicació de propietats metafísiques més conservadors.

la paradoxa de Russell: la solució

Per sobre es va observar que al final de la seva vida Frege va abandonar del tot la lògica de conjunts. Això, per descomptat, una solució a la antinòmia en forma de conjunts: un simple negació de l'existència d'elements com ara un tot. A més, hi ha altres opcions populars, els conceptes bàsics dels quals es mostren a continuació.

La teoria per a molts tipus de

Com es va esmentar anteriorment, Russell va jugar per a una teoria més completa de tipus, que compartirien no només les propietats o conceptes de diferents tipus, però també va establir. Russell compartit situat en una pluralitat d'unitats separades, una pluralitat de conjunts d'objectes separats, etc. Els conjunts d'objectes no es van considerar, i una pluralitat de conjunts - .. Conjunts. Una gran quantitat de mai va gaudir del tipus, li permet tenir com a membre de la mateixa. Per tant no hi ha cap conjunt de tots els conjunts que no són membres de la seva pròpia, ja que per a qualsevol conjunt de preguntes sobre si es tracta com a membre, és en si mateix un tipus de violació. Un cop més, la qüestió aquí és explicar els conjunts metafísica per explicar els fonaments filosòfics de la divisió en tipus.

estratificació

El 1937, V. V. Kuayn ha ofert una solució alternativa, d'una manera semblant a la teoria dels tipus. informació bàsica sobre ella són.

La separació de conjunts i altres elements. Fa de manera que el supòsit de trobar una pluralitat sempre és incorrecta o sense sentit. Conjunts només poden ser proporcionats en la definició de les seves condicions no són un tipus de violació. Així, per Quine, l'expressió "x no és membre de x" és la declaració significativa no implica l'existència del conjunt de tots els elements x que satisfan aquesta condició.

En aquest sistema hi ha un conjunt per a alguns fórmula A obert si i només si s'estratifica, t. I. Si les variables se'ls assignen nombres enters positius tals que per a cada ocurrència característica d'una pluralitat del que precedeix variable és assignat unitat d'assignació més petita que la variable, següent després d'ell. Aquesta paradoxa de Russell blocs, ja que la fórmula utilitzada per determinar el conjunt de problemes, no és la mateixa abans i després del senyal de membres variable del que és no estratificada.

Però encara ha de determinar si el sistema resultant, que Quine anomena "Nous fonaments de la lògica matemàtica" consistent.

rebuig

Un enfocament totalment diferent es pren en la teoria de Zermelo - Fraenkel (ZF). Aquí, també, establir un límit en l'existència de conjunts. En canvi, l'enfocament del "top-down" de Russell i Frege, que inicialment es va pensar que per tots els conceptes, propietats o condicions pot suggerir l'existència del conjunt de totes les coses amb aquesta propietat o per complir amb aquesta condició, en ZF-teoria, tot comença "de baix a dalt".

Els elements individuals del conjunt buit i formen un conjunt. Per tant, a diferència dels sistemes anteriors i Russell Frege FIT no pertany al conjunt universal que inclou tots els elements i fins i tot tots els conjunts. ZF estableix límits estrictes sobre l'existència de conjunts. Pot existir només aquells per als quals és clarament van postular o que es poden formular per mitjà de processos iteratius i similars. D.

Llavors, en lloc del concepte d'abstracció determinada ingènua que estableix que un element particular està inclòs en el conjunt si i només si compleix amb les condicions en el principi de separació utilitzat DF, separació o "classificació". En lloc d'assumir l'existència del conjunt de tots els elements que són, sense excepció, satisfer una determinada condició, per a cada conjunt existent Aussonderung indica l'existència d'un subconjunt de tots els elements en el conjunt original que satisfà la condició.

Després ve principi d'abstracció: si existeix el conjunt A, llavors, per a tot x en A, x pertany al subconjunt A, que satisfà la condició si i només si x satisfà la condició C. Aquest enfocament resol la paradoxa de Russell, ja que no podem assumir simplement és a dir, el conjunt de tots els conjunts que no són membres de si mateixes.

Tenir una gran quantitat de conjunts, pot seleccionar o dividir-lo en conjunts, que són en si mateixos, i els que no ho són, però ja que no hi ha un conjunt universal, no estem obligats conjunt de tots els conjunts. Sense assumir el problema estableix Russell contradicció no pot ser provada.

altres solucions

A més, hi ha hagut posteriors ampliacions o modificacions d'aquestes solucions, com ara una teoria de tipus forquilla de "Principis de Matemàtiques" Ampliació del sistema "lògica matemàtica" Quine, així com els desenvolupaments més recents en la teoria de conjunts, fetes Bernays, Gödel i von Neumann. La qüestió de si la resposta a la paradoxa insoluble Bertrand Russell va trobar, segueix sent un tema de debat.