Trapezoide equilàter diagonal. Quina és la línia mitjana del trapezi. Tipus de trapezis. Trapezi - ella ..

Trapezi - un cas especial d'un quadrilàter, en què un parell de costats és paral·lel. El terme "trapezoïdal" es deriva de la paraula grega τράπεζα, que significa "taula", "taula". En aquest article anem a veure tipus de trapezi i les seves propietats. A més, ens fixem en la forma de calcular els elements individuals de la figura geomètrica. Per exemple, la diagonal d'un trapezi equilàter, la línia, zona mitjana i altres. El material contingut en la geometria elemental estil popular, t. I. D'una manera fàcilment accessible.

visió de conjunt

En primer lloc, anem a entendre el que és un quadrilàter. Aquesta xifra és un cas especial d'un polígon que té quatre costats i quatre vèrtexs. Dos vèrtexs d'un quadrilàter, que no són adjacents, anomenats oposada. El mateix es pot dir dels dos costats no adjacents. Els principals tipus de quadrilàters - un paral, rectangle, rombe, quadrat, trapezi i deltoides.

Així que de tornada al trapezi. Com hem dit, aquesta xifra els dos costats són paral·lels. Són anomenats bases. Els altres dos (no paral·lela) - els costats. Els materials dels diversos exàmens i exàmens molt sovint que poden respondre als desafiaments associats amb trapezoides la solució requereix sovint el coneixement de l'estudiant no estan coberts pel programa. la geometria del curs de l'escola introdueix els alumnes amb propietats i diagonals angles, així com la línia mitjana d'un trapezi isòsceles. Però a part d'això fa referència a una forma geomètrica té altres característiques. Però sobre ells més endavant ...

tipus de trapezi

Hi ha molts tipus d'aquesta figura. No obstant això, amb més freqüència habitual considerar dos d'ells - isòsceles i rectangulars.

1. rectangular trapezoide - una figura en la qual un dels costats perpendicular a la base. Ella té dos angles són sempre iguals a noranta graus.

2. trapezi isòsceles - una figura geomètrica els costats són iguals. Així, i els angles en la base són també iguals.

Els principis fonamentals de mètodes per estudiar les propietats del trapezi

Els principis bàsics que inclouen l'ús de l'anomenat enfocament de la tasca. De fet, no hi ha necessitat d'entrar en una geometria curs teòric de noves propietats d'aquesta figura. Ells poden ser obertes o en el procés de formulació de les diferents tasques (millor sistema). És molt important que el mestre sàpiga quines tasques cal posar davant dels estudiants en un moment donat del procés d'aprenentatge. D'altra banda, cada propietat trapezi es pot representar com una tasca clau en el sistema de tasques.

El segon principi és l'anomenat organització espiral de l'estudi "notables" propietats de trapezi. Això implica un retorn al procés d'aprenentatge de les característiques individuals de la figura geomètrica. Per tant, els estudiants més fàcil de recordar ells. Per exemple, la propietat dels quatre punts. Es pot demostrar que en l'estudi de similitud i, posteriorment, usant vectors. A igual triangles adjacents als costats de la figura, és possible demostrar mitjançant l'ús de no només les propietats de triangles amb altures iguals realitzats als costats dels quals es troben sobre una línia recta, sinó també mitjançant l'ús de la fórmula S = 1/2 (ab * sinα). A més, és possible calcular la llei dels pits de trapezi inscrit o triangle rectangle i el trapezi es descriu en t. D.

L'ús de "extracurricular" ofereix una figura geomètrica en el contingut del curs - una tasca seu ensenyament tecnologia. referència constant per estudiar les propietats de l'aprovació de l'altra permet als estudiants aprendre el trapezi més profund i assegura l'èxit de la tasca. Per tant, es procedeix a l'estudi d'aquesta notable figura.

Elements i propietats d'un trapezi isòsceles

Com hem assenyalat, en aquesta figura geomètrica costats són iguals. No obstant això, es coneix com un trapezi dret. I el que és tan notable i per això va obtenir el seu nom? Les característiques especials d'aquest gràfic es refereix que no només té costats iguals i angles a la base, sinó també en diagonal. A més, la suma dels angles d'un trapezi isòsceles és igual a 360 graus. Però això no és tot! Només al voltant isòsceles poden ser descrits per un cercle de tots els trapezoides coneguts. Això és a causa del fet que la suma dels angles oposats en aquesta figura és de 180 graus, i només sota aquesta condició pot ser descrit com un cercle al voltant del quadrangle. Les següents propietats de la figura geomètrica és que la distància des de la part superior de la base de la projecció dels pics oposats sobre la línia que conté aquesta base serà igual a la línia mitjana.

Ara veurem com trobar els vèrtexs d'un trapezi isòsceles. Penseu una solució a aquest problema, sempre que la mida de les parts coneix figura.

decisió

És habitual per denotar les lletres quadrilàter A, B, C, D, on el BS i BP - una fundació. En un trapezi isòsceles costats són iguals. Suposem que la seva mida és igual a dimensions X i Y són bases i Z (menor i major, respectivament). Per al càlcul de l'angle de la necessitat de gastar en l'altura H. El resultat és un triangle rectangle ABN on AB - la hipotenusa, i BN i AN - les cames. Calcular la mida d'una pota: restar de la base major mínima, i el resultat es divideix per 2. escriure una fórmula: (ZY) / 2 = F. Ara, per calcular l'angle agut de les costes funció d'ús triangle. Obtenim la següent entrada: cos (β) = X / F. Ara calcular l'angle: β = arcs (X / F). A més, coneixent un cantó, podem determinar i en segon lloc, per fer aquesta operació aritmètica elemental: 180 - β. Tots els angles es defineixen.

També hi ha una segona solució d'aquest problema. A s'omet el començament de la cantonada en l'altura de la cama N. calcula el valor de la BN. Sabem que el quadrat de la hipotenusa d'un triangle rectangle és igual a la suma dels quadrats dels altres dos costats. Obtenim: BN = √ (X2 F2). A continuació, utilitzem la tg funció trigonomètrica. El resultat és: β = arctan (BNV / F). L'angle agut es troba. A continuació, vam definir un angle obtús com en el primer mètode.

La propietat de les diagonals d'un trapezi isòsceles

En primer lloc, vam escriure les quatre regles. Si la diagonal en un trapezi isòsceles són perpendiculars, aleshores:

- l'altura de la figura és igual a la suma de bases, dividit per dos;

- la seva alçada i la línia mitjana són iguals;

- àrea del trapezi és igual al quadrat de l'altura (línia central a les bases i mig);

- el quadrat de la diagonal d'un quadrat és igual a la meitat de la suma de dues vegades les bases quadrats o línia mitjana (alçada).

Ara mira la fórmula que defineix la diagonal d'un trapezoide equilàter. Aquesta peça d'informació es pot dividir en quatre parts:

1. Fórmula longitud diagonal a través del seu costat.

Suposem que A és - una base inferior, B - Top, C - costats iguals, D - diagonal. En aquest cas, la longitud pot ser determinat com segueix:

D = √ (C 2 + A * B).

2. Fórmula per a la longitud de la diagonal del cosinus.

Suposem que A és - una base inferior, B - Top, C - costats iguals, D - diagonal, α (a la base inferior) i β (la base superior) - cantonades del trapezoide. Obtenim la següent fórmula, en la qual es pot calcular la longitud de la diagonal:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C cosα *).

3. Fórmula longitud de la diagonal d'un trapezi isòsceles.

Suposem que A és - una base inferior, B - superior, D - diagonal, M - línia mitjana H - alçada, P - àrea del trapezoide, α i β - l'angle entre diagonals. Determinar la longitud de les següents fórmules:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2 M * N / sinα).

Per a aquest cas, la igualtat: sinα = sinβ.

4. Fórmula longitud diagonal a través dels costats i l'altura.

Suposem que A és - una base inferior, B - Top, C - costats, D - diagonal, H - alçada, α - angle amb la base inferior.

Determinar la longitud de les següents fórmules:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F ctgα *) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elements i propietats d'un trapezi rectangular

Vegem el que està interessat en aquesta figura geomètrica. Com hem dit, tenim un trapezi rectangular de dos angles rectes.

A més de la definició clàssica, hi ha altres. Per exemple, un trapezi rectangular - un trapezi en què una banda és perpendicular a la base. O la forma de tenir als angles laterals. En aquest tipus d'altura trapezoides és el costat que és perpendicular a les bases. La línia mitjana - un segment que connecta els punts mitjans de les dues parts. La propietat d'aquest element és que és paral·lel a les bases i igual a la meitat de la seva suma.

Ara anem a considerar les fórmules bàsiques que defineixen les formes geomètriques. Per a això, se suposa que A i B - base; C (perpendicular a la base) i D - costats del trapezi rectangular, M - línia mitjana, α - angle agut, P - zona.

1. El costat perpendicular a les bases, una xifra igual a l'altura (C = N), i és igual a la longitud del segon costat A i el si dels α angle en una base major (C = A * sinα). A més, és igual al producte de la tangent de les α angle agut i la diferència de bases: C = (A-B) * tgα.

2. El costat D (no perpendicular a la base) igual al quocient de la diferència de A i B i el cosinus (α) o un angle agut respecte a l'altura privada figures H i l'angle agut sine: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. El costat que és perpendicular a les bases, és igual a l'arrel quadrada del quadrat de la diferència D - el segon costat - i una base de les diferències quadrats:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Side Un trapezi rectangular és igual a l'arrel quadrada d'una suma quadrada d'un costat quadrat i bases C geomètrica de diferència de manera: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. El costat C és igual al quocient de la plaça el doble de la suma de les seves bases: C = P / M = 2P / (A + B).

6. L'àrea definida pel producte M (la línia central del trapezi rectangular) en alçada o direcció lateral perpendicular a les bases: P = M * N = M * C.

7. Posició C és el quocient de dues vegades la forma quadrada pel producte angle sine aguda i la suma de les seves bases: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. costat Fórmula d'un trapezi rectangular a través de la seva diagonal, i l'angle entre ells:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

on D1 i D2 - diagonal del trapezoide; α i β - l'angle entre ells.

9. costat Fórmula través d'un angle a la base inferior i altres: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Ja que el trapezi amb angle recte és un cas particular del trapezi, les altres fórmules que determinen aquestes figures, es troben i rectangular.

propietats circumferència inscrita

Si la condició es diu que en un cercle inscrit trapezi rectangular, a continuació, pot utilitzar les següents propietats:

- la quantitat de la base és la suma dels costats;

- distància de la part superior de la forma rectangular dels punts de tangència del cercle inscrit és sempre igual;

- alçada del trapezi és igual al costat, perpendicular a les bases, i és igual al diàmetre del cercle ;

- el centre del cercle és el punt en què es tallen les bisectrius dels angles ;

- si el costat lateral del punt de contacte es divideix en longituds de N i M, llavors el radi del cercle és igual a l'arrel quadrada del producte d'aquests segments;

- quadrilàter format pels punts de contacte, la part superior del trapezoide i el centre del cercle inscrit - és un quadrat, el costat és igual al radi;

- àrea de la figura és el producte de la raó i el producte de la semisuma de les bases en el seu apogeu.

trapezi similars

Aquest tema és molt útil per estudiar les propietats de les figures geomètriques. Per exemple, la divisió diagonal en quatre triangles trapezoide, i són adjacents a la base de similars, i als costats - de la mateixa. Aquesta declaració es pot anomenar una propietat dels triangles, que és el trapezi trencat les seves diagonals. La primera part d'aquesta afirmació es demostra a través del senyal de la similitud de les dues cantonades. Per provar la segona part és millor fer servir el mètode descrit a continuació.

la prova

Acceptar que figura ABSD (AD i BC - la base del trapezi) és diagonals trencades HP i AC. El punt d'intersecció - O. Ens aconseguir quatre triangles AOC: - a la base inferior, BOS - la base superior, ABO i SOD en els laterals. Triangles SOD i biofeedback tenen una alçada comú en aquest cas, si els segments de BO i OD són les seves bases. Trobem que la diferència de les seves zones (P) igual a la diferència d'aquests segments: les OBP / pSOD = BO / ML = K. En conseqüència, pSOD = OBP / K. De la mateixa manera, la triangles AOB i el biofeedback tenen una alçada comú. Acceptat per als seus segments base SB i OA. Obtenim les OBP / PAOB = CO / OA = K i PAOB = OBP / K. D'això es dedueix que pSOD = PAOB.

Per consolidar S'anima als estudiants materials de trobar una connexió entre les àrees dels triangles obtinguts, que és el trapezi trencat les seves diagonals, decidint la següent tasca. Se sap que les àrees dels triangles BOS i ADP són iguals, cal trobar l'àrea d'un trapezi. Des pSOD = PAOB, llavors PABSD OBP + = EAOP + 2 * pSOD. A partir de la similitud dels triangles BOS i ANM següent que BO / OD = √ (OBP / EAOP). En conseqüència, les OBP / pSOD = BO / OD = √ (OBP / EAOP). Obtenir pSOD = √ (* OBP AOP). Llavors PABSD OBP + = EAOP + 2 * √ (EAOP OBP *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

propietats similitud

Continuant amb el desenvolupament d'aquest tema, és possible provar, i altres característiques interessants dels trapezis. Per tant, amb l'ajuda de la similitud pot provar el segment de propietat, que passa pel punt format per la intersecció de les diagonals de la figura geomètrica, paral·lel al terra. Per a això es resol el següent problema: cal trobar el segment RK longitud que passa pel punt O. A partir de la semblança de triangles ADP i SPU dedueix que l'AO / OS = AD / BS. A partir de la similitud dels triangles ADP i ASB següent que AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Això implica que la BS * PO = AD / (AD + BC). De la mateixa manera, a partir de la similitud dels triangles MLC i ABR següent que OK * BP = BS / (BP + BS). Això implica que l'OC i RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segment passa pel punt de les diagonals paral·lel a la base intersecció i la connexió de les dues parts, el punt d'intersecció es divideix per la meitat. La seva longitud - és la mitjana harmònica de figures raó.

Tingueu en compte les següents característiques d'un trapezi, que es diu la propietat de quatre punts. el punt d'intersecció de les diagonals (D), la intersecció de la continuació dels costats (I), així com a mitjans de bases (T i G) sempre es troben en la mateixa línia. És fàcil provar el mètode de similitud. Els triangles resultants són BES similars i AED, i incloent cadascun una mitjana ET i DLY divideixen l'angle en el vèrtex E en parts iguals. Per tant, el punt E, T i F són colineals. De la mateixa manera, en la mateixa línia estan disposats en termes de T, O, i G. Això es segueix de la similitud dels triangles BOS i ANM. Per tant, arribem a la conclusió que els quatre termes - I, T, S i F - se'n va a dormir sobre una línia recta.

L'ús de trapezoides similars, es pot oferir als estudiants per trobar la longitud del segment (LF), que divideix la figura en dos similars. Aquest tall ha de ser paral·lel a les bases. Des del LBSF ALFD trapezoide rebut i similars, el BS / LF = LF / AD. Això implica que LF = √ (BS * BP). Arribem a la conclusió que el segment que divideix en dos trapezi similars, té una longitud igual a la mitjana geomètrica de les longituds de les bases de la figura.

Penseu en la següent propietat similitud. Es basa en el segment que divideix el trapezi en dos peces de la mateixa mida. Acceptar aquest segment trapezi ABSD es divideix en dos EH similar. Des de la part superior de B rebaixat l'altura d'aquest segment es divideix en dues parts ÉS - B1 i B2. Obtenir PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. compondre encara més el sistema, en el qual la primera equació (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 i segon (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Es dedueix que B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) i BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Trobem que la longitud de dividir el trapezoide en dos iguals, igual a les longituds mitjanes de les bases quadràtiques: √ ((CN2 + aq2) / 2).

conclusions de similitud

Per tant, hem demostrat que:

1. El segment de connexió mitjà de la trapezoide en els costats laterals, paral·lela a BP i BS i BS és la mitjana aritmètica i (longitud de la base d'un trapezi) BP.

2. La barra passa pel punt O d'intersecció de les diagonals AD paral·lel i BC serà igual als números de mitjana harmònica de BP i BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. El segment de trencar en trapezoide similars té una longitud mitjana geomètrica bases BS i BP.

4. L'element que divideix la forma en dues dimensions igual, una longitud mitjana nombres quadrats BP i BS.

Per consolidar el material i el coneixement dels vincles entre els segments de l'estudiant és necessària la construcció d'ells per al trapezoide específica. Ell pot mostrar fàcilment la línia mitjana i el segment que passa pel punt - la intersecció de les diagonals de les figures - paral·lel al terra. Però, on serà el tercer i quart? Aquesta resposta conduirà a l'estudiant per al descobriment de la relació desconeguda entre els valors mitjans.

Segment que uneix els punts mitjans de les diagonals del trapezi

Penseu en la següent propietat de la figura. Acceptem que el segment MN és paral·lel a les bases i es divideix per la meitat en diagonal. el punt d'intersecció es diu W i S. Aquest segment serà igual a la meitat de la raó diferència. Vegem això amb més detall. MSH - la línia mitjana del triangle ABS, és igual a la BS / 2. Minigap - la línia mitjana de la DBA triangle, és igual a AD / 2. Llavors ens trobem que SHSCH = minigap-MSH, per tant SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

centre de gravetat

Vegem com definir l'element d'una figura geomètrica donada. Per a això, ha d'ampliar la base en direccions oposades. Què vol dir? Cal afegir-hi la base fins a la part inferior superior - a qualsevol de les parts, per exemple, a la dreta. A perllongar menor és la longitud de la part superior esquerra. A continuació, connecteu la seva diagonal. El punt d'intersecció d'aquest segment amb la línia central de la figura és el centre de gravetat del trapezi.

Inscrits i trapezi descrit

Llista de deixar que compta amb aquest tipus de xifres:

1. Línia pot ser inscrit en un cercle només si és isòsceles.

2. Al voltant del cercle pot ser descrit com un trapezoide, a condició que la suma de les longituds de les seves bases és la suma de les longituds dels costats.

Conseqüències del cercle inscrit:

1. L'altura del trapezi descriu sempre igual a dues vegades el radi.

2. El costat del trapezi descrit es veu des del centre del cercle en angle recte.

La primera conseqüència és òbvia, i per provar la segona és necessària per establir que l'angle de la SOD és directa, és a dir, de fet, tampoc serà fàcil. Però el coneixement d'aquesta propietat permet l'ús d'un triangle rectangle per resoldre problemes.

Ara especifiquem les conseqüències per al trapezi isòsceles, que està inscrit en un cercle. Obtenim que l'altura és la geomètriques bases mitjanes de la figura: H = 2R = √ (BS * BP). Complint amb el mètode bàsic de la solució de problemes per als trapezis (principi de dues altures), l'estudiant ha de resoldre la següent tasca. Acceptar que BT - l'altura de les figures isòsceles ABSD. Cal trobar trams d'AT i AP. L'aplicació de la fórmula descrita anteriorment, ho farà no és difícil.

Ara anem a explicar com determinar el radi de la circumferència de la zona descrita trapezoïdal. S'omet a l'altura B superior a la base BP. Ja que el cercle inscrit en el trapezoide, el BS + 2AB = BP o AB = (BS + BP) / 2. Des del triangle ABN troballa sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Obtenir PABSD = (BP + BS) * R, es dedueix que R = PABSD / (AD + BC).

.

Totes les fórmules de la línia mitjana del trapezi

Ara és el moment de passar a l'últim element d'aquesta figura geomètrica. Nosaltres entenem, el que és la línia mitjana del trapezi (M):

1. A través de bases: M = (A + B) / 2.

2. Després de l'altura, la base i les cantonades:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. A través d'una alçada i entre els mateixos angle diagonal. Per exemple, D1 i D2 - diagonal del trapezi; α, β - l'angle entre ells:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. Dins de la zona i altura: M = R / N.